Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Compléments sur la dérivation
Dériver pour optimiser.
En bref
La dérivée est l’outil de l’optimisation : trouver le coût minimal, le bénéfice maximal, la dose optimale.
La dérivée est l’outil de l’optimisation : trouver le coût minimal, le bénéfice maximal, la dose optimale. Ce complément fournit les formules qui manquaient en Première.
Le rappel
f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a, et la vitesse instantanée de variation. L’équation de la tangente :
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Les dérivées usuelles
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| x^n | n x^(n−1) |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
Les opérations
| Opération | Sa dérivée | Le piège |
|---|---|---|
| (u + v)′ | u′ + v′ | — |
| (u v)′ | u′v + u v′ | Ce n’est pas le produit des dérivées |
| (u/v)′ | (u′v − u v′)/v² | L’ordre au numérateur compte |
| (k u)′ | k u′ | — |
Les composées — le cœur du complément
| Fonction | Sa dérivée |
|---|---|
| e^u | u′ e^u |
| ln u, pour u > 0 | u′/u |
| uⁿ | n u′ uⁿ⁻¹ |
| √u, pour u > 0 | u′/(2√u) |
Le facteur u′ est celui qu’on oublie. La dérivée de e^(−0,2x) vaut −0,2 e^(−0,2x), et non e^(−0,2x) : dans un modèle de décroissance, cet oubli inverse le sens de variation.
Signe de la dérivée et variations
| Sur un intervalle | La conséquence |
|---|---|
| f′ > 0 | f croissante |
| f′ < 0 | f décroissante |
| f′ s’annule en changeant de signe | Extremum local |
L’annulation seule ne suffit pas : pour f(x) = x³, f′(0) = 0 sans extremum. C’est le changement de signe qui compte.
La méthode d’optimisation
- Traduire l’énoncé en une fonction d’une seule variable, en précisant son intervalle de validité ;
- Dériver ;
- Étudier le signe de la dérivée — l’étape difficile, qui demande souvent de factoriser ;
- Dresser le tableau de variations ;
- Conclure en revenant à la question posée, avec les unités.
L’intervalle de validité est essentiel : un nombre d’articles produits n’est ni négatif ni supérieur à la capacité de l’atelier. Un optimum mathématique hors de cet intervalle n’a aucun sens — l’extremum est alors atteint au bord.
Le vocabulaire de la modélisation
| Terme | Sa définition |
|---|---|
| Coût marginal | La dérivée du coût total : le coût approximatif de l’unité supplémentaire |
| Bénéfice | Recette moins coût ; il est maximal là où le coût marginal égale la recette marginale |
La dérivée ne donne pas la valeur maximale : elle indique où elle se trouve. Il faut ensuite calculer f en ce point — et vérifier les bornes.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de e^u ?
2.Quelle est la dérivée de ln(u) pour u strictement positive ?
3.Quelle est la dérivée d’un produit u v ?
4.Une dérivée qui s’annule en un point y crée-t-elle toujours un extremum ?
5.Quelle est la dérivée de e^(−0,2x) ?
6.Pourquoi préciser l’intervalle de validité dans un problème d’optimisation ?
0 / 6 questions
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