Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Intégration
Une aire qui a un sens.
En bref
L’intégrale mesure un cumul : la distance parcourue à partir d’une vitesse, l’énergie consommée à partir d’une puissance, la quantité totale à partir d’un débit.
La définition géométrique
Pour f continue et positive, l’intégrale de a à b de f est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b, en unités d’aire.
Si f est négative, l’intégrale est négative : c’est une aire algébrique.
Le calcul
Si F est une primitive de f :
∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a)
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, la constante s’éliminant dans la différence.
Les propriétés
| Propriété | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Linéarité | L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales, et une constante multiplicative sort |
| Relation de Chasles | De a à b, plus de b à c, égale de a à c — elle permet de découper une période |
| Positivité | Si f est positive et a inférieur à b, l’intégrale est positive |
| Croissance | Si f est inférieure à g, l’intégrale de f est inférieure à celle de g |
La valeur moyenne
(1/(b − a)) × ∫ de a à b de f(x) dx
Température moyenne sur une journée, débit moyen, consommation moyenne : c’est la notion la plus utile en modélisation.
Elle diffère de la moyenne des valeurs aux bornes dès que la fonction n’est pas affine. Piège fréquent.
L’interprétation du cumul
Si f décrit une vitesse ou un débit, l’intégrale de f décrit la quantité totale accumulée.
| Ce qu’on intègre | Sur quoi | Ce qu’on obtient |
|---|---|---|
| Une vitesse en km/h | Des heures | Une distance en km |
| Une puissance en kW | Des heures | Une énergie en kWh |
| Un débit en L/min | Des minutes | Un volume en L |
L’unité du résultat est le produit des unités des deux axes. La vérifier est le meilleur contrôle d’un calcul — et l’énoncé la demande presque toujours.
L’aire entre deux courbes
Pour f supérieure à g, l’aire entre les deux courbes vaut l’intégrale de (f − g). Elle s’interprète comme un écart cumulé : différence de production entre deux scénarios, économie réalisée par un dispositif.
Les valeurs approchées
Quand aucune primitive ne s’exprime simplement, on approche l’intégrale par la méthode des rectangles ou des trapèzes, en découpant l’intervalle. La calculatrice fait de même.
L’intégrale n’est pas qu’une aire : c’est un cumul. C’est l’interprétation, et l’unité qui l’accompagne, que l’épreuve évalue.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut l’intégrale de a à b de f si F est une primitive de f ?
2.Que représente l’intégrale d’une vitesse sur une durée ?
3.Comment calcule-t-on la valeur moyenne de f sur [a ; b] ?
4.Une intégrale peut-elle être négative ?
5.Que dit la relation de Chasles ?
6.Que représente l’aire entre deux courbes dans un modèle ?
0 / 6 questions
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