Maths · Terminale · Analyse
Raisonnement par récurrence
Une échelle : la 1re marche, puis de marche en marche.
En bref
Le raisonnement par récurrence démontre qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un rang, sans avoir à la vérifier un par un.
Le principe
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si :
| Étape | Ce qu’elle établit |
|---|---|
| Initialisation | P(n₀) est vraie |
| Hérédité | Pour tout n supérieur ou égal à n₀, P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie |
alors P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n₀.
L’image de l’échelle : savoir monter sur le premier barreau, et savoir passer d’un barreau au suivant, c’est pouvoir monter aussi haut qu’on veut.
La rédaction attendue
| Étape | Ce qu’il faut écrire |
|---|---|
| 1 | Définir clairement P(n) — la propriété, pas la conclusion |
| 2 | Initialisation : vérifier P(n₀) par le calcul, en écrivant les deux membres |
| 3 | Hérédité : « soit n tel que P(n) est vraie » ; on suppose P(n), on démontre P(n+1) — en partant du rang n+1 et en y faisant apparaître le rang n |
| 4 | Conclusion : « par récurrence, P(n) est vraie pour tout n » |
Sa rigueur fait une part de la note.
Les deux erreurs classiques
| Erreur | Pourquoi elle est fatale |
|---|---|
| Oublier l’initialisation | L’hérédité seule ne prouve rien : « 2ⁿ > n² » est héréditaire à partir d’un rang, et fausse pour n = 3 |
| Utiliser P(n+1) dans sa propre démonstration | C’est supposer ce qu’on veut prouver. L’hypothèse est P(n), jamais P(n+1) |
L’hypothèse de récurrence doit servir
Une démonstration d’hérédité qui n’y fait jamais appel signale presque toujours une erreur — ou une propriété qui se démontre directement, sans récurrence.
Les usages au programme
| Usage | Exemple |
|---|---|
| Formule explicite d’une suite définie par récurrence | — |
| Inégalité | L’inégalité de Bernoulli : (1 + a)ⁿ supérieur ou égal à 1 + n a, pour a > −1 |
| Monotonie d’une suite u(n+1) = f(u(n)) | — |
| Encadrement | Montrer qu’une suite reste dans un intervalle stable |
| Divisibilité | Montrer qu’une expression est divisible par un entier |
Le lien avec la suite du chapitre
La récurrence sert immédiatement après : démontrer qu’une suite est croissante et majorée est l’étape qui, par le théorème de la limite monotone, garantit sa convergence.
Une propriété héréditaire sans initialisation vraie est une échelle sans premier barreau : on sait passer d’un barreau au suivant, mais on n’y monte jamais.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles sont les deux étapes d’un raisonnement par récurrence ?
2.Que suppose-t-on dans l’étape d’hérédité ?
3.Une propriété héréditaire est-elle nécessairement vraie ?
4.Que dit l’inégalité de Bernoulli ?
5.Que signale une démonstration d’hérédité qui n’utilise jamais l’hypothèse de récurrence ?
6.La récurrence peut servir à démontrer une propriété de divisibilité.
0 / 6 questions
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