Maths · 3e · Nombres et calculs
Équations produits nuls, inéquations et mise en équation
Un produit nul, un signe à retourner.
En bref
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie. En 3e, on va plus loin qu'en 4e : les équations du second degré qui se factorisent, les inéquations et la mise en équation d'un problème.
L'équation produit nul
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
| L'équation | Ce qu'on écrit | Les solutions |
|---|---|---|
| (2x + 1)(x − 3) = 0 | 2x + 1 = 0 ou x − 3 = 0 | −0,5 et 3 |
| x(x + 7) = 0 | x = 0 ou x + 7 = 0 | 0 et −7 |
Se ramener à un produit nul
Quand l'équation contient un x², le premier réflexe est de tout passer d'un côté puis de factoriser.
Exemple travaillé : x² − 4x = 0.
- Factoriser par x : x(x − 4) = 0.
- Produit nul : x = 0 ou x − 4 = 0.
- Solutions : 0 et 4.
Diviser les deux membres par x ferait perdre la solution 0 : on ne divise jamais par une expression qui peut être nulle.
Les inéquations
Une inéquation utilise <, >, ≤ ou ≥. On la résout comme une équation, avec une seule règle nouvelle :
| L'opération sur les deux membres | Le sens de l'inégalité |
|---|---|
| Ajouter ou soustraire un nombre | Inchangé |
| Multiplier ou diviser par un positif | Inchangé |
| Multiplier ou diviser par un négatif | Inversé |
| L'inéquation | Les étapes | La solution |
|---|---|---|
| 3x − 5 < 7 | 3x < 12, puis diviser par 3 | x < 4 |
| −2x + 1 ≥ 9 | −2x ≥ 8, puis diviser par −2 (on retourne) | x ≤ −4 |
Représenter les solutions
Sur une droite graduée, x ≥ 3 se représente par un trait qui part de 3 vers la droite, avec un crochet tourné vers les solutions en 3 (3 est inclus). Pour x > 3, le crochet est tourné vers l'extérieur : 3 est exclu.
Tester une valeur
Le nombre 2 est-il solution de 5x − 3 > 8 ? On remplace : 5 × 2 − 3 = 7, et 7 n'est pas supérieur à 8. Donc non.
Mettre un problème en équation
- Choisir l'inconnue et l'écrire : « soit x l'âge du frère ».
- Traduire l'énoncé : Léa a trois fois l'âge de son frère, et à eux deux ils ont 48 ans : x + 3x = 48.
- Résoudre : 4x = 48, x = 12.
- Répondre par une phrase : le frère a 12 ans, Léa 36 ans.
- Vérifier : 12 + 36 = 48.
Autre exemple : trois entiers consécutifs ont pour somme 72. Avec x le plus petit : x + (x + 1) + (x + 2) = 72, soit 3x + 3 = 72, donc x = 23.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles sont les solutions de (2x + 1)(x − 3) = 0 ?
2.Quelles sont les solutions de x² − 4x = 0 ?
3.Quel est le premier réflexe pour résoudre x² − 4x = 0 ?
4.Quelle est la solution de l’inéquation 3x − 5 < 7 ?
5.Quelle est la solution de −2x + 1 ≥ 9 ?
6.Que se passe-t-il quand on multiplie les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif ?
0 / 6 questions
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