Maths · 3e · Nombres et calculs
Puissances d’un nombre et écriture scientifique
Écrire très grand et très petit sans se tromper.
En bref
Une puissance est une multiplication répétée : a puissance n vaut a × a × …
Une puissance est une multiplication répétée : a puissance n vaut a × a × … × a, avec n facteurs.
Les conventions à connaître
| L'écriture | Sa valeur |
|---|---|
| a¹ | a |
| a⁰ | 1, pour tout a non nul |
| a⁻ⁿ | 1 / aⁿ : l'exposant négatif signifie « on divise » |
| L'exemple | Sa valeur |
|---|---|
| 10³ | 1 000 |
| 10⁻³ | 0,001 |
Pour les puissances de 10, l'exposant compte les zéros : 10⁶ s'écrit 1 suivi de six zéros, et 10⁻⁶ = 0,000 001, avec le 1 au sixième rang après la virgule.
Les quatre règles de calcul
| L'opération | La règle | Ce qu'on fait aux exposants |
|---|---|---|
| aᵐ × aⁿ | aᵐ⁺ⁿ | On les additionne |
| aᵐ ÷ aⁿ | aᵐ⁻ⁿ | On les soustrait |
| (aᵐ)ⁿ | aᵐˣⁿ | On les multiplie |
| (a × b)ⁿ | aⁿ × bⁿ | On distribue |
Ces règles ne fonctionnent qu'entre puissances de même base. 2³ × 5³ ne se simplifie pas en additionnant les exposants : il faut passer par (2 × 5)³ = 10³.
La règle du quotient explique la convention a⁰ = 1 : a³ ÷ a³ vaut 1, et la règle donne a³⁻³ = a⁰.
L'écriture scientifique
Tout nombre s'écrit sous la forme a × 10ⁿ, où 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif.
| Le nombre | Son écriture scientifique |
|---|---|
| 45 300 | 4,53 × 10⁴ |
| 0,00072 | 7,2 × 10⁻⁴ |
| Le déplacement de la virgule | Le signe de l'exposant |
|---|---|
| Vers la gauche | Positif |
| Vers la droite | Négatif |
La méthode : placer la virgule après le premier chiffre non nul, puis compter les rangs franchis.
Exemple résolu : un calcul à rendre en écriture scientifique
Calculer A = (6 × 10⁵) × (4 × 10⁻²).
- On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre : A = (6 × 4) × (10⁵ × 10⁻²).
- On calcule : 6 × 4 = 24 et 10⁵ × 10⁻² = 10⁵⁻² = 10³, donc A = 24 × 10³.
- 24 n'est pas entre 1 et 10 : on écrit 24 = 2,4 × 10¹, donc A = 2,4 × 10¹ × 10³ = 2,4 × 10⁴.
À quoi ça sert
| L'usage | Son exemple |
|---|---|
| Comparer | Le plus grand exposant l'emporte, si les deux sont bien en écriture scientifique |
| Écrire le très grand | Distance Terre-Soleil : 1,5 × 10⁸ km |
| Écrire le très petit | Taille d'un virus : 1 × 10⁻⁷ m |
Les erreurs fréquentes
- Confondre 10⁻³ avec un nombre négatif : 10⁻³ = 0,001 est positif.
- Écrire 45,3 × 10³ : c'est juste, mais ce n'est pas l'écriture scientifique, car 45,3 dépasse 10.
- Multiplier les exposants au lieu de les additionner : 2⁵ × 2³ = 2⁸, pas 2¹⁵.
Au brevet, ce chapitre revient dans les exercices de sciences (distances, tailles, masses) : on attend l'écriture scientifique du résultat et un calcul détaillé.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut a⁰ pour a non nul ?
2.Combien vaut 10⁻³ ?
3.Que vaut 2⁵ × 2³ ?
4.Que vaut (3²)⁴ ?
5.Quelle est l’écriture scientifique de 45 300 ?
6.Quelle est l’écriture scientifique de 0,00072 ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Puissances et écriture scientifique » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
