Maths · 3e · Nombres et calculs
La racine carrée et l’équation x² = a
Le nombre positif dont le carré vaut a.
En bref
La racine carrée est l'opération qui « défait » le carré.
La racine carrée est l'opération qui « défait » le carré. On la croise avec Pythagore, avec les aires et avec les équations du type x² = a.
La définition
Pour un nombre a positif ou nul, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
| L'exemple | Pourquoi |
|---|---|
| √81 = 9 | 9² = 81 et 9 est positif |
| √0 = 0 | 0² = 0 |
| √(−9) | N'existe pas : aucun carré n'est négatif |
| (√7)² = 7 | Par définition |
Une racine carrée est toujours positive ou nulle. Même si (−9)² = 81, √81 vaut 9 et non −9.
Les carrés parfaits à connaître
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
| n | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Ils permettent d'encadrer une racine qui ne tombe pas juste : 49 < 50 < 64, donc 7 < √50 < 8.
Valeur exacte et valeur approchée
| L'écriture | Son statut |
|---|---|
| √2 | Valeur exacte |
| 1,414 | Valeur approchée au millième |
Au brevet, on garde la valeur exacte tant qu'on calcule, et on n'arrondit qu'à la fin, comme demandé.
Un piège à éviter
√(a + b) n'est pas √a + √b. Contre-exemple : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5.
L'équation x² = a
| La valeur de a | Le nombre de solutions | Exemple |
|---|---|---|
| a > 0 | Deux : √a et −√a | x² = 49 : 7 et −7 ; x² = 10 : √10 et −√10 |
| a = 0 | Une : 0 | x² = 0 |
| a < 0 | Aucune | x² = −4 : un carré n'est jamais négatif |
Ne pas oublier la solution négative : (−7)² = 49 aussi.
Les usages
| La situation | Le calcul |
|---|---|
| Le côté d'un carré d'aire 36 cm² | √36 = 6 cm (une longueur est positive : une seule réponse) |
| La fin d'un calcul de Pythagore | BC² = 100, donc BC = √100 = 10 |
| La diagonale d'un carré de côté 1 | √2 ≈ 1,414 |
Exemple travaillé : un champ carré a une aire de 2 500 m². Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ? Le côté vaut √2 500 = 50 m, donc le périmètre vaut 4 × 50 = 200 m.
Dans un problème de géométrie, la solution négative d'une équation x² = a est écartée : une longueur est positive.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien vaut √81 ?
2.Entre quels entiers consécutifs se trouve √50 ?
3.Quelles sont les solutions de l’équation x² = 49 ?
4.Combien de solutions a l’équation x² = −4 ?
5.Que vaut √(−9) ?
6.Combien vaut (√7)² ?
0 / 6 questions
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