Maths · 3e · Nombres et calculs
Nombres premiers et fractions irréductibles
Décomposer pour simplifier.
En bref
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les premiers nombres premiers
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…
| Le point d'attention | Sa raison |
|---|---|
| 2 est le seul premier pair | Tous les autres pairs sont divisibles par 2 |
| 1 n'est pas premier | Il n'a qu'un seul diviseur |
Pour savoir si un nombre est premier, on teste sa divisibilité par 2, 3, 5, 7, 11… et on s'arrête dès que le carré du diviseur testé dépasse le nombre. Exemple : 97 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et 11² = 121 dépasse 97 : 97 est premier.
Les critères de divisibilité
| Le diviseur | Le critère |
|---|---|
| 2 | Le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | La somme de ses chiffres est divisible par 3 |
| 5 | Il se termine par 0 ou 5 |
| 9 | La somme de ses chiffres est divisible par 9 |
| 10 | Il se termine par 0 |
La décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 s'écrit d'une seule façon comme produit de nombres premiers. On divise successivement par 2, puis 3, puis 5…
| L'étape | Le résultat |
|---|---|
| 180 | 2 × 90 |
| 90 | 2 × 45 |
| 45 | 3 × 15 |
| 15 | 3 × 5 |
| Total | 2² × 3² × 5 |
De même, 45 = 3² × 5 : ses diviseurs premiers sont 3 et 5, et eux seuls.
Rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
| L'étape | Le calcul |
|---|---|
| Décomposer le numérateur | 126 = 2 × 3² × 7 |
| Décomposer le dénominateur | 180 = 2² × 3² × 5 |
| Simplifier par les facteurs communs | 2 × 3² = 18 |
| Le résultat | 7/10 |
Simplifier n'est pas « enlever des chiffres » : c'est diviser le haut et le bas par le même nombre.
Exemple résolu : un problème de partage
Un fleuriste a 84 roses et 60 tulipes. Il veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
- On décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5.
- Les facteurs communs sont 2² × 3 = 12 : il fait 12 bouquets.
- Chaque bouquet contient 84 ÷ 12 = 7 roses et 60 ÷ 12 = 5 tulipes.
Les erreurs fréquentes
- Dire que 1 est premier, ou qu'un nombre impair est forcément premier (9, 15, 21 ne le sont pas).
- Arrêter la décomposition trop tôt : 4 × 45 n'est pas une décomposition en facteurs premiers.
- Simplifier par un facteur qui n'est pas commun aux deux décompositions.
Pourquoi c'est utile
Une fraction irréductible est la forme la plus simple d'un quotient : c'est celle qu'attend le brevet, et celle qui rend deux fractions comparables d'un coup d'œil.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
2.Quel est le seul nombre premier pair ?
3.Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 180 ?
4.Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 3 ?
5.Qu’est-ce qu’une fraction irréductible ?
6.Quelle est la forme irréductible de 126/180 ?
0 / 6 questions
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