Maths · 3e · Nombres et calculs
Division euclidienne, diviseurs et problèmes de partage
Partager équitablement, sans reste.
En bref
L'arithmétique étudie les nombres entiers : qui divise qui, combien il reste, comment partager sans rien laisser.
L'arithmétique étudie les nombres entiers : qui divise qui, combien il reste, comment partager sans rien laisser. Elle revient au brevet sous forme de problèmes concrets de bouquets, de paquets ou d'horaires.
La division euclidienne
Diviser a par b (b non nul), c'est trouver le quotient q et le reste r tels que :
a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b
| La division | L'égalité | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 187 par 12 | 187 = 12 × 15 + 7 | 15 | 7 |
| 100 par 7 | 100 = 7 × 14 + 2 | 14 | 2 |
Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur. Si on trouve un reste de 13 en divisant par 12, c'est que le quotient est trop petit.
Diviseurs et multiples
Si le reste est nul, b est un diviseur de a, et a est un multiple de b. Exemple : 91 = 7 × 13, donc 7 divise 91.
Les diviseurs de 36 vont par paires : 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6. Il y en a 9 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Le plus grand diviseur commun
On décompose les deux nombres en facteurs premiers et on garde les facteurs communs, avec le plus petit exposant.
| Le nombre | Sa décomposition |
|---|---|
| 84 | 2² × 3 × 7 |
| 60 | 2² × 3 × 5 |
| Facteurs communs | 2² × 3 = 12 |
On l'appelle aussi le PGCD. Deux nombres dont le seul diviseur commun est 1 sont dits premiers entre eux : par exemple 15 = 3 × 5 et 28 = 2² × 7. La fraction 15/28 est alors irréductible.
Le problème de partage type
Une fleuriste a 84 roses et 60 tulipes. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
- Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 60.
- On cherche le plus grand diviseur commun : 12.
- Chaque bouquet contient 84 ÷ 12 = 7 roses et 60 ÷ 12 = 5 tulipes.
Le problème de rendez-vous
Deux bus partent ensemble à 8 h ; l'un passe toutes les 6 min, l'autre toutes les 8 min. Ils repartiront ensemble après un multiple commun de 6 et 8. Multiples de 8 : 8, 16, 24… et 24 est multiple de 6. Prochain départ commun : 8 h 24.
| La question | L'outil |
|---|---|
| « le plus grand nombre de paquets identiques » | Le plus grand diviseur commun |
| « la prochaine fois qu'ils se retrouvent » | Le plus petit multiple commun |
Le reste dans les problèmes
250 œufs rangés par boîtes de 12 : 250 = 12 × 20 + 10. On remplit 20 boîtes, il reste 10 œufs, et il faut 21 boîtes pour tout ranger. Toujours relire la question : quotient ou quotient + 1 ?
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 187 par 12 ?
2.Dans a = b × q + r, quelle condition doit vérifier le reste r ?
3.Combien le nombre 36 a-t-il de diviseurs ?
4.Quel est le plus grand diviseur commun de 84 et 60 ?
5.Avec 84 roses et 60 tulipes, on fait 12 bouquets identiques. Combien de roses par bouquet ?
6.Lequel de ces couples est formé de nombres premiers entre eux ?
0 / 6 questions
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