Maths · 3e · Nombres et calculs
Identités remarquables : développer, factoriser, démontrer
Trois égalités qui font gagner du temps.
En bref
Les trois identités remarquables sont des raccourcis de la double distributivité.
Les trois identités remarquables sont des raccourcis de la double distributivité. Elles servent à développer vite, à factoriser, à calculer de tête et à démontrer une propriété générale.
Les trois identités
| L'identité | Le développement | D'où elle vient |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | Même calcul avec −b |
| (a + b)(a − b) | a² − b² | Les termes ab et −ab s'annulent |
(a + b)² n'est pas a² + b². Contre-exemple : (1 + 2)² = 9, mais 1² + 2² = 5. Il manque le double produit 2ab.
Développer
| L'expression | Le résultat | Le détail |
|---|---|---|
| (x + 5)² | x² + 10x + 25 | 2 × x × 5 = 10x |
| (2x − 3)² | 4x² − 12x + 9 | (2x)² = 4x², 2 × 2x × 3 = 12x |
| (3x + 1)(3x − 1) | 9x² − 1 | (3x)² − 1² |
Attention au signe moins devant une parenthèse : −(x − 3)² = −(x² − 6x + 9) = −x² + 6x − 9. On développe d'abord, on distribue le signe ensuite.
Factoriser
On lit les identités de droite à gauche.
| L'expression | Ce qu'on reconnaît | La forme factorisée |
|---|---|---|
| x² + 6x + 9 | a² + 2ab + b² avec a = x, b = 3 | (x + 3)² |
| 25x² − 16 | Une différence de deux carrés | (5x − 4)(5x + 4) |
| (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 4) | Un facteur commun (x + 2) | (x + 2)(4x + 3) |
Pour le dernier : (x + 2)[(3x − 1) + (x + 4)] = (x + 2)(4x + 3).
Avant tout, chercher un facteur commun. Ensuite seulement, chercher une identité.
Calculer de tête
| Le calcul | L'astuce | Le résultat |
|---|---|---|
| 49 × 51 | (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 | 2 499 |
| 101² | (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 | 10 201 |
| 99² | (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 | 9 801 |
Démontrer avec le calcul littéral
Exercice type du brevet : « Choisir un nombre, lui ajouter 1, élever le résultat au carré, puis soustraire le carré du nombre de départ. Montrer que le résultat est toujours le double du nombre de départ augmenté de 1. »
- Appeler x le nombre de départ.
- Traduire : (x + 1)² − x².
- Développer : x² + 2x + 1 − x² = 2x + 1.
- Conclure : quel que soit x, on obtient 2x + 1.
| Ce qu'on veut | L'outil |
|---|---|
| Prouver qu'une propriété est toujours vraie | Le calcul littéral, avec une lettre |
| Prouver qu'elle est fausse | Un seul contre-exemple suffit |
Tester sur trois nombres ne démontre rien : c'est une conjecture. Seule la lettre démontre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est le développement de (x + 5)² ?
2.Quel est le développement de (2x − 3)² ?
3.Quel est le développement de (3x + 1)(3x − 1) ?
4.Quelle est la forme factorisée de 25x² − 16 ?
5.Quelle est la forme factorisée de x² + 6x + 9 ?
6.Quel calcul mental permet de trouver 49 × 51 ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Identités remarquables » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
