Maths · 3e · Organisation et gestion de données – Fonctions
Fonction linéaire et proportionnalité
La proportionnalité, écrite comme une fonction.
En bref
Une fonction linéaire est de la forme f(x) = a x, où a est le coefficient de proportionnalité.
Le lien avec la proportionnalité
| Le fait | Sa conséquence |
|---|---|
| Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité | Si x double, f(x) double |
| Le coefficient | a = f(x) ÷ x, pour x non nul |
| Une seule valeur non nulle | Elle suffit à déterminer toute la fonction |
La représentation graphique
| Le trait | Ce qu'il signifie |
|---|---|
| Une droite | La fonction est linéaire ou affine |
| Elle passe par l'origine | La signature de la proportionnalité |
| Elle ne passe pas par (0 ; 0) | La situation n'est pas proportionnelle |
Le coefficient a est la pente : en avançant de 1 vers la droite, on monte de a.
Pour tracer la droite, un seul point suffit en plus de l'origine : avec f(x) = 1,5x, on place (0 ; 0) et (2 ; 3), puis on trace.
Les pourcentages, cas particulier
| L'opération | Le coefficient multiplicateur |
|---|---|
| Prendre t % | t/100 — la fonction x ↦ 0,2x donne 20 % de x |
| Augmenter de 15 % | ×1,15 |
| Diminuer de 15 % | ×0,85 |
| L'enchaînement | Le calcul | Le résultat |
|---|---|---|
| +10 % puis +10 % | 1,1 × 1,1 = 1,21 | +21 %, et non +20 % |
| −20 % puis +20 % | 0,8 × 1,2 = 0,96 | −4 %, et non le retour au départ |
Les pourcentages ne s'additionnent jamais : les coefficients se multiplient.
Reconnaître une fonction linéaire
| L'indice | Ce qu'on vérifie |
|---|---|
| La formule | De la forme a x, sans terme constant |
| Le tableau | Le quotient f(x) ÷ x est constant |
| Le graphique | Une droite passant par l'origine |
Exemple résolu
Un article coûte 80 €. Il est soldé à −25 %, puis augmenté de 10 %.
- Coefficient de la baisse : 1 − 0,25 = 0,75. Coefficient de la hausse : 1 + 0,10 = 1,10.
- Coefficient global : 0,75 × 1,10 = 0,825. Le prix final est 80 × 0,825 = 66 €.
- 0,825 = 1 − 0,175 : l'évolution globale est une baisse de 17,5 %, et non de 15 %.
Autre exemple : f est linéaire et f(4) = 10. Alors a = 10 ÷ 4 = 2,5, donc f(x) = 2,5x et f(6) = 15.
Les erreurs fréquentes
- Multiplier par 0,15 pour augmenter de 15 % : on obtient seulement la hausse, pas le nouveau prix.
- Additionner des pourcentages successifs.
- Déclarer proportionnelle une situation représentée par une droite qui ne passe pas par l'origine.
Au brevet, la proportionnalité se démontre par le graphique (droite par l'origine) ou par le tableau (quotients égaux) : il faut citer l'argument, pas seulement conclure.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la forme d’une fonction linéaire ?
2.Que représente graphiquement une fonction linéaire ?
3.Comment calcule-t-on le coefficient d’une fonction linéaire ?
4.Par quel nombre multiplie-t-on pour augmenter une valeur de 15 % ?
5.Une hausse de 10 % suivie d’une autre hausse de 10 % correspond à quelle hausse totale ?
6.Quelle fonction donne 20 % d’un nombre ?
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