Maths · 3e · Espace et géométrie
L’homothétie
Agrandir ou réduire depuis un point, d’un coup.
En bref
Une homothétie agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe — le centre — selon un nombre appelé rapport, noté k.
La construction
L'image M′ de M par l'homothétie de centre O et de rapport k est le point de la droite (OM) tel que OM′ = valeur absolue de k, multipliée par OM.
| Le signe de k | La position de M′ |
|---|---|
| Positif | Du même côté que M par rapport à O |
| Négatif | De l'autre côté : la figure est retournée |
La méthode de construction, point par point :
- Tracer la demi-droite ou la droite (OM).
- Mesurer OM et calculer OM′ = valeur absolue de k × OM.
- Placer M′ sur (OM), du même côté que M si k est positif, de l'autre côté si k est négatif.
- Recommencer pour chaque sommet, puis relier les images.
Ce qu'elle conserve, ce qu'elle multiplie
| Elle conserve | Elle multiplie |
|---|---|
| L'alignement | Les longueurs par la valeur absolue de k |
| Le parallélisme | Les aires par k² |
| Les angles | Les volumes par k³ |
| La forme de la figure | — |
L'image est un agrandissement ou une réduction, jamais une déformation.
Trois cas remarquables
| La valeur de k | La transformation |
|---|---|
| k = 1 | La figure ne bouge pas |
| k = −1 | Une symétrie centrale de centre O |
| Valeur absolue supérieure à 1 | Un agrandissement |
| Valeur absolue inférieure à 1 | Une réduction |
Une homothétie de rapport 3 triple les longueurs mais multiplie l'aire par 9 : c'est la source d'erreur numéro un du chapitre.
Exemple résolu
Un triangle ABC a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm, et une aire de 6 cm². On lui applique l'homothétie de centre O et de rapport −2.
- Les longueurs sont multipliées par 2 : l'image a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm.
- L'aire est multipliée par (−2)² = 4 : elle vaut 24 cm².
- Le signe moins place l'image de l'autre côté de O : le triangle est retourné, mais ses angles sont inchangés.
Pour retrouver le rapport à partir d'une figure : k = OM′ ÷ OM, avec un signe moins si M et M′ sont de part et d'autre de O.
Le lien avec Thalès
Une homothétie de centre O transforme une droite en une droite parallèle.
C'est exactement la configuration du théorème de Thalès : les deux chapitres décrivent la même situation, l'un par une transformation, l'autre par une égalité de quotients.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu'un rapport de 0,5 agrandit : toute valeur absolue inférieure à 1 réduit.
- Oublier que k négatif retourne la figure autour du centre.
- Multiplier une aire par k au lieu de k².
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une homothétie ?
2.Que se passe-t-il si le rapport k est négatif ?
3.Que conserve une homothétie ?
4.Par combien une homothétie de rapport 3 multiplie-t-elle les aires ?
5.Par combien une homothétie de rapport 3 multiplie-t-elle les volumes ?
6.À quelle transformation correspond une homothétie de rapport −1 ?
0 / 6 questions
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