Maths · 3e · Espace et géométrie
Triangles semblables
Même forme, taille différente : angles égaux, côtés proportionnels.
En bref
Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont la même forme : leurs angles sont deux à deux égaux, et leurs côtés proportionnels.
Les deux définitions équivalentes
| La définition | Son contenu |
|---|---|
| Par les angles | Ils sont deux à deux de même mesure |
| Par les côtés | Les longueurs sont proportionnelles ; le quotient est le rapport de similitude k |
En 3e, on retient le critère le plus rapide : deux angles égaux suffisent. La somme des angles valant 180°, le troisième suit automatiquement.
Comment rédiger
On nomme les triangles en respectant l'ordre des sommets homologues. Si ABC et DEF sont semblables avec A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F :
AB / DE = AC / DF = BC / EF = k
L'ordre des lettres n'est pas décoratif : c'est lui qui dit quel côté correspond à quel autre.
La méthode :
- Montrer que deux angles sont égaux (angle commun, angles opposés par le sommet, angles droits, angles alternes-internes).
- Conclure que les triangles sont semblables, en écrivant les sommets dans l'ordre des correspondances.
- Écrire l'égalité des quotients de côtés homologues.
- Calculer la longueur cherchée par un produit en croix.
Exemple résolu : la hauteur d'un arbre
Un bâton de 1,5 m, planté verticalement, a une ombre de 2 m. Au même moment, l'ombre d'un arbre mesure 14 m.
- Les deux triangles (objet, ombre, rayon de soleil) ont chacun un angle droit au sol, et le même angle entre le sol et les rayons : ils sont semblables.
- Le rapport de similitude : k = 14 ÷ 2 = 7.
- La hauteur de l'arbre : 1,5 × 7 = 10,5 m.
Ce que le rapport multiplie
| La grandeur | Son coefficient |
|---|---|
| Les longueurs | k |
| Les aires | k² |
| Les volumes, pour des solides semblables | k³ |
Si k = 2, un triangle d'aire 5 cm² a pour « grand frère » un triangle d'aire 20 cm².
Semblables et égaux
| Les triangles | Leur rapport | Ce qu'ils partagent |
|---|---|---|
| Semblables | k quelconque | La forme |
| Égaux (isométriques) | k = 1 | La forme et la taille |
Les triangles égaux sont un cas particulier des triangles semblables.
Les usages
| L'usage | Son exemple |
|---|---|
| Calculer une longueur inaccessible | La hauteur d'un arbre par son ombre |
| Démontrer une égalité de rapports | Une configuration géométrique |
| Relier une réduction à son modèle | Maquette, plan |
La configuration de Thalès produit d'ailleurs toujours deux triangles semblables.
Les erreurs fréquentes
- Associer deux côtés qui ne se correspondent pas : on suit l'ordre des sommets.
- Croire que des triangles semblables ont la même aire : c'est vrai seulement si k = 1.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quand deux triangles sont-ils semblables ?
2.Combien d’angles égaux suffisent à prouver que deux triangles sont semblables ?
3.Que vaut le rapport de similitude k ?
4.Si k = 2, dans quel rapport sont les aires des deux triangles ?
5.Que signifie « triangles égaux » ?
6.Pourquoi l’ordre des sommets compte-t-il dans la notation ?
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