Maths · 3e · Espace et géométrie
Trigonométrie dans un triangle rectangle
CAH – SOH – TOA : un angle, deux côtés, une formule.
En bref
La trigonométrie relie les angles d'un triangle rectangle à ses longueurs — ce que ni Pythagore ni Thalès ne savent faire.
Le vocabulaire, depuis un angle aigu
| Le côté | Sa définition |
|---|---|
| L'hypoténuse | Opposé à l'angle droit : le plus long |
| L'adjacent | Il touche l'angle choisi |
| L'opposé | Il lui fait face |
L'adjacent et l'opposé dépendent de l'angle choisi : l'adjacent de l'un des angles aigus est l'opposé de l'autre. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.
Les trois formules
| Le rapport | Sa formule |
|---|---|
| cos | adjacent ÷ hypoténuse |
| sin | opposé ÷ hypoténuse |
| tan | opposé ÷ adjacent |
Le moyen mnémotechnique : CAH – SOH – TOA.
Les deux calculs
| Ce qu'on cherche | La méthode |
|---|---|
| Une longueur | Repérer l'angle connu, identifier les côtés, choisir la formule à deux données et une inconnue, résoudre |
| Un angle | Calculer le quotient, puis utiliser cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ |
Vérifier que la calculatrice est bien en mode degrés (DEG) : en radians, tous les résultats sont faux sans que rien ne le signale.
Exemples résolus
Triangle ABC rectangle en B, avec l'angle en A de 35° et AC = 8 cm. Calculer BC.
- Depuis l'angle A : AC est l'hypoténuse, BC est l'opposé.
- La formule qui relie opposé et hypoténuse est le sinus : sin 35° = BC / 8.
- BC = 8 × sin 35° ≈ 4,6 cm.
Triangle DEF rectangle en E, avec DE = 5 cm et EF = 12 cm. Calculer l'angle en D.
- Depuis D : EF est l'opposé, DE l'adjacent.
- tan D = 12 / 5 = 2,4.
- D = tan⁻¹(2,4) ≈ 67°.
Les valeurs à connaître
| L'angle | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 | 0 |
| 30° | — | 0,5 | — |
| 45° | — | — | 1 |
| 60° | 0,5 | — | — |
| 90° | 0 | 1 | — |
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours entre 0 et 1 : un résultat supérieur à 1 signale une erreur de formule ou de côté.
Avec Pythagore
| Le théorème | Ce qu'il relie |
|---|---|
| Pythagore | Trois longueurs : a² + b² = c² |
| La trigonométrie | Deux longueurs et un angle |
Une figure se traite souvent avec les deux à la suite.
Les erreurs fréquentes
- Prendre l'hypoténuse pour l'adjacent : l'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit.
- Arrondir trop tôt : on garde la valeur de la calculatrice jusqu'au résultat final.
- Utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle.
Au brevet, la trigonométrie sert souvent à calculer une hauteur (rampe, échelle, toit) ou un angle de pente.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?
2.Que vaut la tangente d’un angle aigu ?
3.Comment appelle-t-on le côté opposé à l’angle droit ?
4.Comment retrouve-t-on un angle à partir de son cosinus ?
5.Que vaut sin 90° ?
6.Que vaut tan 45° ?
0 / 6 questions
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