Maths · 3e · Espace et géométrie
Utiliser le théorème de Thalès
Des droites parallèles, des quotients égaux.
En bref
Le théorème de Thalès relie des longueurs dans une configuration de droites parallèles coupées par deux sécantes.
La configuration
Deux droites sécantes en A ; B et M sur la première, C et N sur la seconde. Si (BC) et (MN) sont parallèles :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
| La figure | Sa disposition |
|---|---|
| Le triangle emboîté | M et N du même côté de A |
| Le papillon | M et N de l'autre côté |
Le théorème est le même dans les deux cas.
La méthode en trois temps
| L'étape | Ce qu'on fait |
|---|---|
| 1 | Vérifier l'alignement des points et le parallélisme des droites |
| 2 | Écrire les trois quotients dans le bon ordre : chacun commence par le sommet commun A |
| 3 | Résoudre par le produit en croix, avec les deux quotients dont on connaît trois longueurs |
L'erreur classique est de mélanger un « petit » et un « grand » segment dans le même quotient. Écrire toujours petit sur grand évite la moitié des fautes.
Exemple résolu : calculer une longueur
On sait : A, M, B alignés ; A, N, C alignés ; (MN) parallèle à (BC) ; AM = 3 cm, AB = 5 cm, BC = 7 cm. Calculer MN.
- Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et (MN) est parallèle à (BC) : d'après le théorème de Thalès, AM / AB = AN / AC = MN / BC.
- On garde les quotients utiles : 3 / 5 = MN / 7.
- Produit en croix : MN = 3 × 7 ÷ 5 = 4,2 cm.
Les deux usages inverses
| Ce qu'on veut prouver | Ce qu'on utilise | La condition |
|---|---|---|
| Les droites sont parallèles | La réciproque | Les points alignés dans le même ordre, et AM / AB = AN / AC |
| Les droites ne sont pas parallèles | La contraposée | Les deux quotients sont différents |
C'est la question type du brevet : on calcule les deux quotients, on les compare, on conclut.
Exemple : AM = 4, AB = 10, AN = 6, AC = 15. AM / AB = 0,4 et AN / AC = 0,4 : les quotients sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc (MN) et (BC) sont parallèles. Si l'on avait trouvé 0,4 et 0,42, on conclurait qu'elles ne le sont pas.
Le lien avec les agrandissements
| Le rapport commun k | Ce qu'il multiplie |
|---|---|
| Les longueurs | k |
| Les aires | k² |
| Les volumes | k³ |
Les erreurs fréquentes
- Oublier de citer le parallélisme avant d'appliquer le théorème : sans lui, il ne s'applique pas.
- Comparer des quotients arrondis : on compare des valeurs exactes, ou des produits en croix.
- Chercher un angle avec Thalès : le théorème ne parle que de longueurs, les angles relèvent de la trigonométrie.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle condition rend le théorème de Thalès applicable ?
2.Dans la configuration de Thalès, que vaut AM / AB ?
3.Comment nomme-t-on la configuration où M et N sont de l’autre côté du sommet ?
4.À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
5.Que conclut-on si les deux quotients sont différents ?
6.Comment résout-on l’égalité de deux quotients ?
0 / 6 questions
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