Maths · 3e · Espace et géométrie
Sections planes de solides
Ce qu’on voit quand on tranche un solide.
En bref
Couper un solide par un plan fait apparaître une figure plane appelée section.
Les sections des solides
| Le solide | La position du plan | La section |
|---|---|---|
| Pavé droit, cube | Parallèle à une face | Un rectangle identique à cette face — un carré pour le cube |
| Pavé droit | Parallèle à une arête | Un rectangle |
| Cylindre | Parallèle à la base | Un disque de même rayon |
| Cylindre | Contenant l'axe | Un rectangle : hauteur et diamètre |
| Pyramide | Parallèle à la base | Un polygone de même forme que la base |
| Cône | Parallèle à la base | Un disque |
| Sphère | Quelconque | Un cercle — un grand cercle si le plan passe par le centre |
Pour se représenter une section, on imagine le solide en pâte à modeler tranché par un fil : la face coupée est la section. Dans une figure en perspective, les longueurs de la section se calculent souvent avec Pythagore ou Thalès.
La réduction dans la pyramide et le cône
La section parallèle à la base est une réduction de la base, de coefficient k égal au rapport des hauteurs.
| La grandeur | Son coefficient |
|---|---|
| Les longueurs | k |
| Les aires | k² |
| Les volumes | k³ |
Le rappel des volumes
| Le solide | Son volume |
|---|---|
| Pavé droit | L × l × h |
| Cylindre | π × R² × h |
| Pyramide | (1/3) × aire de la base × hauteur |
| Cône | (1/3) × aire de la base × hauteur |
Le tiers de la pyramide et du cône n'est pas un détail : c'est le facteur que les copies oublient le plus souvent.
Exemple résolu : une pyramide coupée
Une pyramide de hauteur 12 cm a une base carrée de 9 cm de côté. On la coupe par un plan parallèle à la base, à 4 cm du sommet.
- Le coefficient de réduction : k = 4 ÷ 12 = 1/3.
- La section est un carré de côté 9 × 1/3 = 3 cm, d'aire 9 cm².
- Le volume de la grande pyramide : (1/3) × 9² × 12 = (1/3) × 81 × 12 = 324 cm³.
- Le volume de la petite pyramide : 324 × (1/3)³ = 324 ÷ 27 = 12 cm³.
La méthode : 1. identifier la nature de la section ; 2. calculer le coefficient k comme rapport des hauteurs, petite sur grande ; 3. appliquer k, k² ou k³ selon la grandeur cherchée.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer k à une aire ou à un volume au lieu de k² ou k³.
- Prendre la distance à la base au lieu de la distance au sommet pour calculer k.
- Croire qu'une sphère peut donner autre chose qu'un cercle : c'est toujours un cercle.
Au brevet, les sections apparaissent dans des problèmes concrets (silos, verres coniques, pyramides) où l'on combine volume, réduction et conversion en litres.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle figure obtient-on en coupant un cylindre par un plan parallèle à sa base ?
2.Quelle figure obtient-on en coupant un cylindre par un plan contenant son axe ?
3.Quelle figure obtient-on en coupant un cône par un plan parallèle à sa base ?
4.Dans une section parallèle à la base d’une pyramide, comment sont multipliées les aires ?
5.Quelle est la formule du volume d’un cône ?
6.Quelle section obtient-on en coupant un cube par un plan parallèle à une face ?
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