Maths · 3e · Espace et géométrie
Le théorème de Pythagore et sa réciproque
Calculer une longueur, prouver un angle droit.
En bref
Vu en 4e, le théorème de Pythagore revient dans presque tous les sujets de brevet : pour calculer une longueur, pour prouver qu'un triangle est rectangle, ou comme première étape avant Thalès ou la trigonométrie.
Le théorème
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
BC² = AB² + AC²
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long des trois.
Calculer une longueur
| Ce qu'on cherche | Le calcul | Exemple |
|---|---|---|
| L'hypoténuse | On additionne les carrés | AB = 6, AC = 8 : BC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 |
| Un autre côté | On soustrait les carrés | BC = 13, AB = 5 : AC² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12 |
On termine toujours par une racine carrée : BC = √100. Si elle ne tombe pas juste, on donne la valeur exacte (√50) ou l'arrondi demandé (≈ 7,1).
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
- Repérer le plus long côté.
- Calculer son carré d'un côté.
- Calculer la somme des carrés des deux autres de l'autre côté.
- Comparer.
| Le résultat | La conclusion | La propriété utilisée |
|---|---|---|
| Égalité | Le triangle est rectangle, au sommet opposé au plus long côté | La réciproque |
| Différence | Le triangle n'est pas rectangle | La contraposée |
Exemple travaillé : un triangle a pour côtés 7,5 cm, 10 cm et 12,5 cm.
- 12,5² = 156,25
- 7,5² + 10² = 56,25 + 100 = 156,25
Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Ne jamais écrire l'égalité AVANT de l'avoir vérifiée : on calcule les deux membres séparément, puis on compare.
Les triplets à connaître
3, 4, 5 — 5, 12, 13 — 8, 15, 17, et leurs multiples (6, 8, 10 ; 9, 12, 15). Les reconnaître fait gagner du temps, notamment dans la partie automatismes.
Pythagore dans les situations du brevet
| La situation | Le triangle rectangle caché |
|---|---|
| La diagonale d'un carré de côté 5 | d² = 5² + 5² = 50, d ≈ 7,07 |
| Une échelle contre un mur | Le mur, le sol et l'échelle (hypoténuse) |
| La grande diagonale d'un pavé 3 × 4 × 12 | D'abord la diagonale de la base : 5 ; puis 5² + 12² = 169, soit 13 |
Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Il faut écrire cette hypothèse dans la copie avant tout calcul.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.ABC est rectangle en A. Quelle égalité est vraie ?
2.ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Combien mesure BC ?
3.Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm. Combien mesure le troisième côté ?
4.À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
5.Un triangle a pour côtés 7,5 cm, 10 cm et 12,5 cm. Est-il rectangle ?
6.Un triangle a pour côtés 5, 6 et 8 : 8² = 64 mais 5² + 6² = 61. Quelle propriété permet de conclure qu’il n’est pas rectangle ?
0 / 6 questions
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