Maths · 3e · Espace et géométrie
Sphère et boule
La surface du ballon, le volume de la bille.
En bref
La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R ; la boule est l'ensemble des points tels que OM ≤ R.
Deux objets à ne pas confondre.
| L'objet | Ce qu'il est | Son image |
|---|---|---|
| La sphère | La surface : les points à distance R du centre | La coque d'un ballon |
| La boule | Le solide plein | Le ballon entier |
La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R ; la boule est l'ensemble des points tels que OM ≤ R.
Les deux formules
| La grandeur | Sa formule | Son unité |
|---|---|---|
| Aire de la sphère | A = 4 × π × R² | Une unité carrée |
| Volume de la boule | V = (4/3) × π × R³ | Une unité cube |
Si l'énoncé donne le diamètre, il faut le diviser par 2 avant tout calcul. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.
Un exemple complet
| Le calcul, pour R = 3 cm | Le résultat |
|---|---|
| A = 4 × π × 3² | 36π ≈ 113,1 cm² |
| V = (4/3) × π × 3³ | 36π ≈ 113,1 cm³ |
La coïncidence des valeurs n'arrive que pour R = 3 : ce sont deux grandeurs différentes, l'une en cm², l'autre en cm³.
Exemple résolu : une balle de tennis
Une balle a un diamètre de 6,6 cm. Quel est son volume, au cm³ près ?
- Le rayon : R = 6,6 ÷ 2 = 3,3 cm.
- La formule : V = (4/3) × π × 3,3³.
- Le calcul : 3,3³ = 35,937, donc V ≈ (4/3) × 3,1416 × 35,937 ≈ 151 cm³, soit environ 0,15 L.
La méthode à suivre à chaque fois : 1. repérer rayon ou diamètre ; 2. écrire la formule littérale ; 3. remplacer ; 4. donner la valeur exacte (en π) puis l'arrondi demandé, avec l'unité.
Les sections d'une sphère
| La position du plan | La section obtenue |
|---|---|
| Quelconque | Un cercle |
| Par le centre | Un grand cercle, de même rayon que la sphère |
| Plus le plan s'éloigne du centre | Plus le cercle est petit |
Le rayon r de la section se calcule avec Pythagore : si le plan est à la distance d du centre, r² = R² − d².
Effet d'un agrandissement
| Si le rayon est multiplié par k | La grandeur est multipliée par |
|---|---|
| Les longueurs | k |
| L'aire | k² |
| Le volume | k³ |
Doubler le rayon d'un ballon multiplie sa surface par 4 et son volume par 8.
Les unités
| L'équivalence | Sa valeur |
|---|---|
| 1 L | 1 dm³ |
| 1 cm³ | 1 mL |
Les erreurs fréquentes
- Utiliser π × R², l'aire d'un disque, pour l'aire de la sphère.
- Oublier le 4/3, ou élever le rayon au carré au lieu du cube dans le volume.
- Donner un volume en cm² : une aire et un volume n'ont jamais la même unité.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
2.Quelle est la formule de l’aire d’une sphère de rayon R ?
3.Quelle est la formule du volume d’une boule de rayon R ?
4.Que faut-il faire si l’énoncé donne le diamètre ?
5.Quelle figure obtient-on en coupant une sphère par un plan ?
6.Si on double le rayon d’une boule, par combien son volume est-il multiplié ?
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