Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Croissance et fonctions exponentielles
La courbe qui s’envole.
En bref
Comme la fonction affine prolongeait la suite arithmétique, la fonction exponentielle prolonge la suite géométrique : même croissance, mais pour toute valeur de la variable.
Définition
Pour un réel q > 0 : f(x) = k × q^x, où k = f(0) est la valeur initiale.
La suite géométrique en est exactement la restriction aux entiers : mêmes points, mais la fonction relie les intervalles.
Propriétés
| Propriété | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Elle est toujours strictement positive | Une exponentielle ne s’annule jamais et ne devient jamais négative |
| q > 1 | Croissante |
| 0 < q < 1 | Décroissante |
| q^(a+b) = q^a × q^b | Additionner les durées revient à multiplier les facteurs |
| Sa courbe, pour q > 1 | Elle part lentement, puis s’envole |
La propriété fondamentale est la quatrième : c’est cela, exactement, qu’on appelle une croissance exponentielle.
Lire un graphique
| Repère | Ce qu’il révèle |
|---|---|
| Le temps de doublement est constant | Si la grandeur double en 5 ans entre 2000 et 2005, elle double encore en 5 ans entre 2020 et 2025 |
| En échelle logarithmique verticale | Une exponentielle devient une droite |
C’est pourquoi les graphiques d’épidémie ou de croissance économique sont souvent tracés ainsi : la droite se lit, la courbe se subit.
Modéliser
| Phénomène | Son modèle |
|---|---|
| Décroissance radioactive | N(t) = N0 × 0,5^(t/T), avec T la demi-vie |
| Croissance d’un placement | C(t) = C0 × 1,04^t |
| Refroidissement, dilution, absorption de la lumière dans l’eau | Le même modèle |
Ce que le programme veut faire percevoir tient en une phrase : un pourcentage constant d’évolution ne produit jamais une droite.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la forme d’une fonction exponentielle de base q ?
2.Une fonction exponentielle peut-elle prendre des valeurs négatives ?
3.Quelle propriété fondamentale caractérise l’exponentielle ?
4.Que devient une courbe exponentielle tracée avec un axe vertical en échelle logarithmique ?
5.Quelle formule décrit la décroissance radioactive ?
6.Le temps de doublement d’une croissance exponentielle change-t-il au cours du temps ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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