Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Croissance linéaire et fonctions affines
La droite, version continue.
En bref
La suite arithmétique décrit une évolution par pas entiers ; la fonction affine décrit la même croissance de façon continue, pour toute valeur de la variable.
Définition et vocabulaire
f(x) = a x + b
| Coefficient | Son nom | Ce qu’il représente |
|---|---|---|
| a | Le coefficient directeur | Ce que gagne f quand x augmente de 1 |
| b | L’ordonnée à l’origine | La valeur f(0), le point de départ |
| Cas particulier | Ce qu’il donne |
|---|---|
| b = 0 | Fonction linéaire : une proportionnalité |
| a = 0 | Fonction constante |
La représentation est une droite
| Signe de a | La droite |
|---|---|
| a > 0 | Croissante |
| a < 0 | Décroissante |
Deux points suffisent à la tracer : (0 ; b) et (1 ; a + b).
Le coefficient directeur se lit comme un taux d’accroissement :
a = (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1)
Ce quotient est le même quels que soient les deux points choisis. C’est la définition d’une droite — et ce qui distingue le linéaire de tout le reste.
Le lien avec la suite arithmétique
| Objet | Son écriture |
|---|---|
| La suite | u(n) = u(0) + n r |
| La fonction | f(x) = r x + u(0) |
La raison de la suite est le coefficient directeur de la fonction : même croissance, deux écritures selon que le temps se compte par pas ou en continu.
Modéliser
Un forfait : 10 € fixes plus 0,05 € par minute, soit f(x) = 0,05 x + 10.
Résoudre f(x) = 25 : 0,05 x = 15, donc x = 300 minutes.
Attention : un modèle affine n’est valable que sur un intervalle. Extrapoler une droite hors de son domaine de validité — une croissance de population, une fonte de glacier — est une faute classique de lecture de données.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la forme générale d’une fonction affine ?
2.Que représente le coefficient directeur a ?
3.Quelle est la représentation graphique d’une fonction affine ?
4.Une fonction affine avec b = 0 traduit :
5.Un forfait coûte 10 € plus 0,05 € par minute. Au bout de combien de minutes la facture atteint-elle 25 € ?
6.Quel lien unit suite arithmétique et fonction affine ?
0 / 6 questions
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