Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Variation instantanée et nombre dérivé
La pente en un point.
En bref
Jusqu’ici, les variations se mesuraient entre deux instants.
Jusqu’ici, les variations se mesuraient entre deux instants. Ce chapitre demande une vitesse à un instant précis — celle qu’affiche le compteur d’une voiture, et non la vitesse moyenne du trajet.
Le taux de variation moyen
(f(b) − f(a)) / (b − a)
C’est le coefficient directeur de la sécante, la droite qui joint les points d’abscisses a et b.
| Type de fonction | Ce taux |
|---|---|
| Affine | Il est constant |
| Toute autre | Il dépend des deux points choisis |
Passer à l’instantané
En écrivant b = a + h, le taux devient (f(a + h) − f(a)) / h. On regarde ce qu’il devient quand h tend vers 0.
Quand ce quotient se rapproche d’un nombre unique, ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f’(a).
| Exemple avec f(x) = x², en a = 3 | Le calcul |
|---|---|
| Le quotient | ((3+h)² − 9)/h = (6h + h²)/h |
| Simplifié | 6 + h |
| Quand h tend vers 0 | f’(3) = 6 |
L’interprétation graphique
Quand h tend vers 0, la sécante pivote et vient se confondre avec la tangente.
f’(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Son équation : y = f’(a) (x − a) + f(a).
Lire un nombre dérivé sur un graphique, c’est lire la pente de la tangente : deux points, puis « ce que l’on monte divisé par ce que l’on avance ».
Ce que le signe indique
| Signe de f’(a) | Ce qui se passe en a |
|---|---|
| Positif | La fonction croît — la tangente monte |
| Négatif | Elle décroît |
| Nul | La tangente est horizontale : souvent un maximum ou un minimum |
En physique
| La fonction | Sa dérivée |
|---|---|
| La position x(t) | La vitesse instantanée |
| La vitesse v(t) | L’accélération |
Le nombre dérivé n’est pas un objet purement mathématique : c’est la mesure de ce qui change maintenant.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut le taux de variation moyen de f entre a et b ?
2.Que représente graphiquement le nombre dérivé f’(a) ?
3.Pour f(x) = x², combien vaut f’(3) ?
4.Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?
5.Que peut-on dire si f’(a) = 0 ?
6.Si x(t) désigne la position d’un mobile, que représente x’(t) ?
0 / 6 questions
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