Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Croissance exponentielle et suites géométriques
Multiplier toujours par le même nombre.
En bref
Une évolution est exponentielle quand la grandeur est multipliée par un facteur constant à chaque étape — et non augmentée d’une quantité constante.
Définition
Une suite est géométrique de raison q (q > 0) si u(n+1) = q × u(n).
| Comment retrouver q | Le lien avec l’information chiffrée |
|---|---|
| Par division : q = u(n+1) / u(n) | q est le coefficient multiplicateur : q = 1 + t |
Forme explicite
u(n) = u(0) × q^n
Un capital de 1 000 € placé à 4 % par an : u(n) = 1 000 × 1,04^n. Au bout de 10 ans, environ 1 480 € — et non 1 400 €, car les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.
Croissante, décroissante
| La raison q | Le comportement |
|---|---|
| q > 1 | La suite croît, de plus en plus vite |
| 0 < q < 1 | Elle décroît vers 0 sans jamais l’atteindre |
| q = 1 | Elle est constante |
Une population qui perd 15 % par an suit une suite géométrique de raison 0,85.
Temps de doublement, demi-vie
| Type de croissance | Sa constante |
|---|---|
| Exponentielle croissante | Un temps de doublement constant |
| Exponentielle décroissante | Une demi-vie constante |
La durée pour multiplier par 2 est la même au début qu’à la fin. C’est exactement la propriété qui sert à dater les roches.
Règle utile : pour un taux annuel de t %, le temps de doublement vaut environ 70 / t années. À 4 % l’an, environ 17,5 ans.
Linéaire ou exponentiel ?
| Ce qui est constant | Le modèle |
|---|---|
| Les différences | Arithmétique |
| Les quotients | Géométrique |
Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire, même très rapide au départ. C’est ce que l’intuition refuse, et ce que le graphique montre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Comment définit-on une suite géométrique de raison q ?
2.Quelle est la forme explicite d’une suite géométrique ?
3.Un capital de 1 000 € est placé à 4 % par an. Que vaut-il après 10 ans ?
4.Quelle raison correspond à une baisse annuelle de 15 % ?
5.Que se passe-t-il si la raison q est comprise entre 0 et 1 ?
6.Comment distingue-t-on une suite arithmétique d’une suite géométrique ?
0 / 6 questions
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