Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Phénomènes aléatoires
Imprévisible seul, régulier en nombre.
En bref
Un phénomène est aléatoire quand on connaît l’ensemble des résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira.
Un phénomène est aléatoire quand on connaît l’ensemble des résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira. L’imprévisible individuel devient pourtant régulier en grand nombre.
Le vocabulaire
| Terme | Sa définition |
|---|---|
| L’expérience aléatoire | Elle a plusieurs issues possibles |
| L’univers | L’ensemble des issues |
| Un événement | Un ensemble d’issues |
| La probabilité | Un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain) |
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
En équiprobabilité : P(A) = nombre d’issues favorables / nombre d’issues possibles. Avec un dé équilibré, P(pair) = 3/6 = 0,5.
Fréquence n’est pas probabilité
| La fréquence | La probabilité | |
|---|---|---|
| Quand on l’obtient | Après coup, sur des données | Avant, comme un modèle |
| Sa formule | réalisations / essais | Posée par hypothèse |
Les deux se rejoignent quand l’échantillon grandit : c’est la loi des grands nombres.
Fluctuation d’échantillonnage
Deux échantillons de même taille, tirés de la même population, ne donnent pas la même fréquence. Cet écart est normal.
| Ce qu’on augmente | Ce qui se passe |
|---|---|
| La taille n de l’échantillon | La fluctuation diminue, en 1/√n |
| Multiplier n par 100 | Diviser l’incertitude par 10 seulement |
Pour une proportion p et un n assez grand, environ 95 % des échantillons donnent une fréquence dans l’intervalle de fluctuation [p − 1/√n ; p + 1/√n].
Simuler pour comprendre
Un tableur ou un programme simule des milliers de tirages en quelques secondes, et l’on voit se stabiliser une fréquence qu’aucun raisonnement simple ne donnerait.
C’est la méthode retenue par le programme : observer la régularité avant d’en écrire la loi.
Un piège à connaître : le hasard n’a pas de mémoire. Après cinq « pile » consécutifs, la probabilité du prochain lancer reste 1/2.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Entre quelles valeurs une probabilité est-elle comprise ?
2.Qu’énonce la loi des grands nombres ?
3.Après cinq « pile » consécutifs, quelle est la probabilité d’obtenir « face » au lancer suivant ?
4.Qu’est-ce que la fluctuation d’échantillonnage ?
5.Par combien faut-il multiplier la taille d’un échantillon pour diviser par 10 la fluctuation ?
6.Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?
0 / 6 questions
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