Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
La fonction logarithme décimal
10 puissance combien donne b ?
En bref
Combien de fois faut-il multiplier 10 par lui-même pour obtenir 1 000 ?
Combien de fois faut-il multiplier 10 par lui-même pour obtenir 1 000 ? Trois fois : 10³ = 1 000. Le logarithme décimal répond à la même question pour n’importe quel nombre positif, même quand la réponse n’est pas entière.
Définition
Pour b > 0, log(b) est l’unique nombre x tel que 10^x = b.
10^x = b équivaut à x = log(b)
| b | 0,001 | 0,1 | 1 | 10 | 100 | 1 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| log(b) | −3 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
- log(10^n) = n et 10^(log(b)) = b.
- log(1) = 0 et log(10) = 1.
- log(b) n’existe que pour b > 0.
Le sens de variation
La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ :
| b | log(b) |
|---|---|
| 0 < b < 1 | Négatif |
| b = 1 | Nul |
| b > 1 | Positif |
Et a < b équivaut à log(a) < log(b) : le logarithme conserve l’ordre.
Les propriétés algébriques
Pour a > 0, b > 0 et n entier naturel :
| Propriété | Exemple |
|---|---|
| log(a × b) = log(a) + log(b) | log(2) + log(5) = log(10) = 1 |
| log(a ÷ b) = log(a) − log(b) | log(200) − log(2) = log(100) = 2 |
| log(1 ÷ b) = −log(b) | log(0,5) = −log(2) |
| log(a^n) = n × log(a) | log(8) = 3 log(2) ≈ 0,903 |
log(a + b) n’est pas log(a) + log(b) : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes.
Ordre de grandeur et nombre de chiffres
Un entier N a k chiffres si 10^(k−1) ≤ N < 10^k, c’est-à-dire si k − 1 ≤ log(N) < k.
Exemple : log(2^100) = 100 × log(2) ≈ 30,1 : 2^100 s’écrit avec 31 chiffres.
Des échelles logarithmiques
Le logarithme décimal sert à mesurer des grandeurs qui varient énormément :
| Grandeur | Définition |
|---|---|
| pH d’une solution | pH = −log[H₃O⁺] : une solution 10 fois plus acide perd 1 point de pH |
| Niveau sonore | Il s’exprime en décibels, avec un logarithme du rapport des intensités |
On utilise aussi des repères semi-logarithmiques : une suite géométrique y apparaît alignée.
log(b) répond à la question : « 10 puissance combien donne b ? »
Exemple travaillé
Sachant log(2) ≈ 0,301, calculer log(20) et log(0,25).
- log(20) = log(2 × 10) = log(2) + 1 ≈ 1,301.
- log(0,25) = log(1 ÷ 4) = −log(2²) = −2 log(2) ≈ −0,602.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien vaut log(1 000) ?
2.Combien vaut log(0,001) ?
3.Combien vaut log(2) + log(5) ?
4.Sachant log(2) ≈ 0,301, combien vaut log(8) ?
5.Pour 0 < b < 1, log(b) est…
6.log(−5) existe.
0 / 6 questions
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