Placements, versements réguliers et sommes

Placer 1 000 € une seule fois ou verser 1 000 € chaque année : dans le second cas, chaque versement rapporte des intérêts pendant une durée différente. Le calcul de la valeur acquise devient une somme de termes d’une suite géométrique.

Intérêts simples, intérêts composés

Les versements réguliers

On verse V euros au début de chaque année sur un placement à t % par an (intérêts composés). Juste après le n-ième versement :

• ✱le dernier versement vaut V ;
• ✱l’avant-dernier vaut V × (1 + t) ;
• ✱… le premier vaut V × (1 + t)^(n − 1).

valeur acquise = V × (1 + (1 + t) + … + (1 + t)^(n−1)) = V × ((1 + t)^n − 1) ÷ t

(t écrit en décimal : 5 % donne t = 0,05.)

Exemple travaillé

1 000 € versés chaque 1er janvier à 5 % par an. Valeur juste après le 3e versement :

1. 1Premier versement : 1 000 × 1,05² = 1 102,50.
2. 2Deuxième : 1 000 × 1,05 = 1 050.
3. 3Troisième : 1 000.
4. 4Total : 3 152,50 €. Avec la formule : 1 000 × (1,05³ − 1) ÷ 0,05 = 1 000 × 0,157625 ÷ 0,05 = 3 152,50.

La notation Σ sur d’autres sommes

Le programme fait aussi calculer des sommes qui ne sont ni arithmétiques ni géométriques :

En Python : l’accumulateur

Une fonction qui renvoie la somme des n premiers carrés :

def somme_carres(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + pow(k, 2)
    return s

!range(1, n + 1) s’arrête à n : la borne de droite est exclue.

→Versements réguliers : chaque versement est un terme d’une suite géométrique ; la valeur acquise est leur somme.