Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
Les fonctions exponentielles de base a
La suite géométrique, au temps continu.
En bref
Une suite géométrique u(n) = q^n ne dit rien entre deux années.
Une suite géométrique u(n) = q^n ne dit rien entre deux années. Or une population croît aussi au bout de six mois. La fonction x ↦ a^x prolonge la suite géométrique à tous les réels : elle modélise une évolution relative constante en continu.
Définition (a > 0)
Pour les entiers, a^n est déjà connu. On prolonge à tous les réels x la fonction f(x) = a^x, avec :
- a⁰ = 1 et a¹ = a ;
- a^(−x) = 1 ÷ a^x ;
- a^(1/2) = √a (car a^(1/2) × a^(1/2) = a¹).
a^x est toujours strictement positif, et la courbe passe par le point (0 ; 1).
Les propriétés algébriques
Les règles des puissances entières restent vraies :
| Propriété | Exemple |
|---|---|
| a^(x + y) = a^x × a^y | 2^(1,5) × 2^(0,5) = 2² = 4 |
| a^(x − y) = a^x ÷ a^y | 10^(2,5) ÷ 10^(0,5) = 10² |
| a^(−x) = 1 ÷ a^x | 4^(−1/2) = 1 ÷ 2 = 0,5 |
| (a^x)^n = a^(nx) | (1,1^x)² = 1,21^x |
Le sens de variation
| a | x ↦ a^x est |
|---|---|
| a > 1 | Strictement croissante |
| 0 < a < 1 | Strictement décroissante |
| a = 1 | Constante (égale à 1) |
Pour f(x) = k × a^x :
| k | Sens de variation |
|---|---|
| k > 0 | Le même que a^x |
| k < 0 | Le contraire de a^x |
Exemple : f(x) = −3 × 0,8^x. Ici 0,8^x est décroissante et k = −3 < 0, donc f est croissante.
Le lien avec les suites géométriques
| Suite géométrique | Fonction exponentielle |
|---|---|
| u(n) = u(0) × q^n | f(x) = k × a^x |
| n entier | x réel |
| Croissante si q > 1 | Croissante si a > 1 (k > 0) |
a^x n’est pas une fonction puissance : dans a^x, c’est l’exposant qui varie ; dans x², c’est la base.
Une grandeur qui augmente de t % par unité de temps se modélise par k × (1 + t/100)^x.
Exemple travaillé
Une culture compte 500 bactéries à t = 0 et augmente de 40 % par heure. On modélise N(t) = 500 × 1,4^t.
- Au bout de 2 h : 500 × 1,96 = 980 bactéries.
- Au bout de 30 min : 500 × 1,4^(0,5) = 500 × √1,4 ≈ 592 bactéries — ce que la suite ne donnait pas.
- 1,4 > 1 et k > 0 : N est croissante.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien vaut a⁰ pour tout a > 0 ?
2.Combien vaut 2^(1,5) × 2^(0,5) ?
3.Combien vaut 4^(−1/2) ?
4.La fonction x ↦ 0,7^x est…
5.La fonction f(x) = −3 × 0,8^x est…
6.a^x peut prendre des valeurs négatives.
0 / 6 questions
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