Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
Suites géométriques : terme général et somme
On multiplie toujours par le même nombre.
En bref
Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre, la raison q (ici q > 0, termes positifs).
Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre, la raison q (ici q > 0, termes positifs). Elle modélise les évolutions à pourcentage constant : c’est la croissance exponentielle.
Le terme général
u(n) = u(0) × q^n
u(n) = u(1) × q^(n − 1)
Exemple : un capital de 2 000 € placé à 5 % par an vaut, au bout de n années, u(n) = 2 000 × 1,05^n.
Trois nombres consécutifs
a, b, c (positifs) sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b ÷ a = c ÷ b, c’est-à-dire b² = a × c. b est alors la moyenne géométrique de a et c :
b = √(a × c)
4 ; 6 ; 9 conviennent : 6² = 36 = 4 × 9. La moyenne géométrique de 2 et 8 est √16 = 4 (leur moyenne arithmétique est 5).
La somme des termes consécutifs
Pour q ≠ 1 :
1 + q + q² + … + q^n = (1 − q^(n+1)) ÷ (1 − q)
Plus généralement :
somme = premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) ÷ (1 − q)
| Somme | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ (10 termes) | (1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) | 1 023 |
| 3 + 6 + 12 + 24 (4 termes) | 3 × (1 − 2⁴) ÷ (1 − 2) | 45 |
| 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 | (1 − 0,5⁴) ÷ (1 − 0,5) | 1,875 |
L’exposant du numérateur est le nombre de termes, pas le rang du dernier.
Le sens de variation
| q | La suite (termes positifs) |
|---|---|
| q > 1 | Croissante |
| 0 < q < 1 | Décroissante |
| q = 1 | Constante |
Linéaire ou exponentielle ?
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| On passe au suivant en | ajoutant r | multipliant par q |
| Évolution | absolue constante | relative constante |
| Langage courant | croissance linéaire | croissance exponentielle |
Géométrique : chaque terme se calcule en multipliant ; une somme de termes se calcule d’un seul coup.
Exemple travaillé
Une influenceuse gagne 500 abonnés la première semaine, puis 20 % de plus chaque semaine que la précédente. Combien d’abonnés gagnés en 4 semaines ?
- Gains hebdomadaires : suite géométrique, premier terme 500, raison 1,2.
- Somme de 4 termes : 500 × (1 − 1,2⁴) ÷ (1 − 1,2).
- 1,2⁴ = 2,0736, donc 500 × (−1,0736) ÷ (−0,2) = 2 684 abonnés.
Vérification terme à terme : 500 + 600 + 720 + 864 = 2 684.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.u(0) = 2 000 et q = 1,05. Quelle est l’expression de u(n) ?
2.4 ; 6 ; 9 sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
3.Quelle est la moyenne géométrique de 2 et 8 ?
4.Combien vaut 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ ?
5.Combien vaut 3 + 6 + 12 + 24 ?
6.Dans la formule de la somme, l’exposant de q au numérateur est…
0 / 6 questions
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