Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
Résoudre une équation avec le logarithme décimal
Le log fait descendre l’exposant.
En bref
« Au bout de combien d’années mon capital aura-t-il doublé ?
« Au bout de combien d’années mon capital aura-t-il doublé ? » L’inconnue est dans l’exposant : le logarithme décimal permet de la faire descendre.
Équations du type a^x = b (a > 0, b > 0)
On prend le logarithme des deux membres :
a^x = b équivaut à x × log(a) = log(b), soit x = log(b) ÷ log(a) (si a ≠ 1)
Exemple : 2^x = 10 donne x = log(10) ÷ log(2) = 1 ÷ 0,301 ≈ 3,32.
Équations du type x^a = b (x > 0)
Ici l’inconnue est la base : on élève à la puissance 1/a.
x^a = b équivaut à x = b^(1/a)
Exemples : x³ = 27 donne x = 27^(1/3) = 3 ; x⁴ = 16 donne x = 2. C’est ainsi qu’on retrouve un taux moyen : (1 + t)⁵ = 1,5 donne 1 + t = 1,5^(1/5).
Inéquations a^n < b, d’inconnue n entière
On prend le logarithme (qui conserve l’ordre), puis on divise par log(a).
Si 0 < a < 1, alors log(a) < 0 : diviser par log(a) change le sens de l’inégalité.
| Inéquation | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| 1,05^n ≥ 2 | n × log(1,05) ≥ log(2), log(1,05) > 0 | n ≥ 14,2…, donc n = 15 |
| 0,8^n < 0,1 | n × log(0,8) < −1, log(0,8) < 0 | n > 10,3…, donc n = 11 |
Vérification de la seconde : 0,8^10 ≈ 0,107 et 0,8^11 ≈ 0,086.
La méthode
- Isoler la puissance : a^x = b (diviser par le capital de départ, par exemple).
- Prendre le logarithme des deux membres.
- Faire descendre l’exposant : log(a^x) = x × log(a).
- Diviser par log(a) en surveillant son signe.
- Pour un nombre d’années, prendre le premier entier qui convient et conclure par une phrase.
Inconnue dans l’exposant : logarithme. Inconnue dans la base : exposant 1/a.
Exemple travaillé
Un capital de 3 000 € est placé à 5 % par an. En combien d’années dépasse-t-il 6 000 € ?
- 3 000 × 1,05^n ≥ 6 000, soit 1,05^n ≥ 2.
- n × log(1,05) ≥ log(2).
- log(1,05) > 0, donc n ≥ log(2) ÷ log(1,05) ≈ 0,3010 ÷ 0,0212 ≈ 14,2.
- Le capital double au bout de 15 ans.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la solution de 2^x = 10 ?
2.Quelle est la solution positive de x³ = 27 ?
3.Pour résoudre a^x = b, on commence par…
4.log(a^x) est égal à…
5.À partir de quel entier n a-t-on 1,05^n ≥ 2 ?
6.À partir de quel entier n a-t-on 0,8^n < 0,1 ?
0 / 6 questions
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