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Le taux d’évolution moyen
Une seule évolution en remplace plusieurs.
En bref
Un prix a augmenté de 21 % en deux ans. Combien par an « en moyenne » ?
Un prix a augmenté de 21 % en deux ans. Combien par an « en moyenne » ? Pas 10,5 % : le taux moyen se calcule avec une racine, c’est-à-dire l’exposant 1/n.
Le principe
Le taux d’évolution moyen est le taux unique qui, appliqué n fois de suite, donne la même évolution globale.
Si le coefficient multiplicateur global est C sur n périodes, le coefficient moyen c vérifie c^n = C, donc :
c = C^(1/n)
taux moyen = C^(1/n) − 1
La méthode
- Calculer le coefficient multiplicateur global C (en multipliant les CM, ou valeur finale ÷ valeur initiale).
- Calculer C^(1/n).
- Retrancher 1 et écrire en pourcentage.
Exemples
| Évolution globale | n | C | C^(1/n) | Taux moyen |
|---|---|---|---|---|
| + 21 % | 2 ans | 1,21 | 1,1 | + 10 % par an |
| + 44 % | 2 ans | 1,44 | 1,2 | + 20 % par an |
| − 19 % | 2 ans | 0,81 | 0,9 | − 10 % par an |
| + 33,1 % | 3 ans | 1,331 | 1,1 | + 10 % par an |
Vérification de la première ligne : 1,1 × 1,1 = 1,21.
La moyenne des pourcentages n’est pas le taux moyen : + 30 % puis + 10 % donnent 1,3 × 1,1 = 1,43, et le taux moyen est 1,43^(1/2) − 1 ≈ 19,6 %, pas 20 %.
Taux mensuel équivalent à un taux annuel
Un placement rapporte 12 % par an. Le taux mensuel équivalent est le taux t tel que (1 + t)^12 = 1,12 :
1 + t = 1,12^(1/12) ≈ 1,0095
Soit environ 0,95 % par mois — un peu moins que 12 ÷ 12 = 1 %, car les intérêts mensuels se capitalisent.
Quand l’utiliser
- Évolution moyenne d’une population sur une décennie.
- Croissance annuelle moyenne d’un chiffre d’affaires.
- Taux mensuel équivalent d’un crédit.
Taux moyen : on raisonne sur les coefficients multiplicateurs, et on prend la racine n-ième du coefficient global.
Exemple travaillé
Une ville passe de 50 000 à 60 500 habitants en 2 ans.
- C = 60 500 ÷ 50 000 = 1,21.
- C^(1/2) = √1,21 = 1,1.
- Taux moyen : + 10 % par an. Contrôle : 50 000 → 55 000 → 60 500.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Un prix augmente de 21 % en 2 ans. Quel est le taux d’évolution annuel moyen ?
2.Une grandeur augmente de 44 % en 2 ans. Taux annuel moyen ?
3.Une grandeur baisse de 19 % en 2 ans. Taux annuel moyen ?
4.Une population augmente de 33,1 % en 3 ans. Taux annuel moyen ?
5.Le coefficient multiplicateur moyen sur n périodes est…
6.Le taux moyen de deux évolutions est la moyenne de leurs pourcentages.
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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