Maths · Terminale · Analyse
Continuité des fonctions d’une variable réelle
Une valeur atteinte, et atteinte une seule fois.
En bref
La continuité est l’hypothèse qui rend légitimes la plupart des raisonnements de l’analyse — et elle sert surtout à démontrer qu’une équation admet une solution.
La définition
f est continue en a si f est définie en a et si sa limite en a existe et vaut f(a).
Intuitivement : on trace la courbe sans lever le crayon. Image fidèle sur les fonctions du programme.
Ce qui est continu
| Continu sur son ensemble de définition | Le contre-exemple |
|---|---|
| Polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée | La fonction partie entière : discontinue en chaque entier |
| Exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, valeur absolue | — |
| Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul), composées | — |
Dérivabilité et continuité
Une fonction dérivable en a est continue en a. La réciproque est fausse.
La valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable : sa courbe y présente un point anguleux. Retenir le sens de l’implication est indispensable.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un segment, alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet au moins une solution.
La continuité est essentielle : la partie entière saute par-dessus des valeurs sans les prendre.
Le corollaire — théorème de la bijection
Si f est continue et strictement monotone, la solution est unique.
| L’élément de rédaction | Ce qu’il apporte |
|---|---|
| La continuité | L’existence |
| La stricte monotonie | L’unicité |
| L’encadrement de k entre les valeurs aux bornes | L’applicabilité |
Chacun des trois vaut des points. Le théorème s’étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant les valeurs aux bornes par les limites.
La recherche approchée
Le théorème prouve qu’une solution existe sans la donner. La dichotomie l’approche : couper l’intervalle en deux, garder la moitié où le signe change, recommencer.
Chaque étape divise l’amplitude par deux : dix étapes suffisent à gagner trois décimales.
Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence, la stricte monotonie ajoute l’unicité, la dichotomie fournit la valeur approchée. Trois outils, trois rôles distincts.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quand une fonction est-elle continue en a ?
2.Une fonction dérivable en a est-elle continue en a ?
3.Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?
4.Quelle hypothèse ajoute l’unicité au théorème des valeurs intermédiaires ?
5.La fonction partie entière est continue sur ℝ.
6.Que fait la méthode de dichotomie ?
0 / 6 questions
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