Maths · Terminale · Analyse
Fonction logarithme népérien (ln)
Il transforme les produits en sommes.
En bref
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle.
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle. Toutes ses propriétés en découlent — y compris la seule qui ait fait son succès historique : transformer un produit en somme.
La définition
Pour x > 0, ln(x) est l’unique réel y tel que e^y = x :
e^(ln x) = x pour x > 0, et ln(e^x) = x pour tout réel x
Il n’est défini que sur les réels strictement positifs. C’est la condition d’existence à vérifier avant tout calcul, et l’oubli le plus sanctionné du chapitre.
Les valeurs de référence
| x | ln(x) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| e | 1 |
| Entre 0 et 1 | Négatif |
| Supérieur à 1 | Positif |
Les propriétés algébriques
| Propriété | Ce qu’elle transforme |
|---|---|
| ln(ab) = ln a + ln b | Un produit en somme — la relation fondamentale |
| ln(a/b) = ln a − ln b | Un quotient en différence |
| ln(1/b) = − ln b | — |
| ln(a^n) = n ln a | Un exposant en facteur |
| ln(√a) = (1/2) ln a | — |
ln(a + b) n’est pas ln a + ln b. C’est l’erreur la plus fréquente — et la plus immédiatement repérable.
La courbe
Strictement croissante, elle passe par (1 ; 0) et (e ; 1), et présente une asymptote verticale en 0.
Elle est symétrique de celle de l’exponentielle par rapport à la droite y = x — les deux fonctions étant réciproques l’une de l’autre.
Résoudre avec le logarithme
La stricte croissance donne, pour a > 0 et b > 0 : ln a = ln b équivaut à a = b, et ln a < ln b équivaut à a < b.
C’est ce qui résout les équations où l’inconnue est en exposant : 2^n > 1000 devient n ln 2 > ln 1000, donc n > ln(1000)/ln(2).
Les usages
| Usage | La formule |
|---|---|
| Temps de doublement d’un capital ou d’une population | ln(2)/ln(1 + t) |
| Demi-vie d’un noyau radioactif | ln(2)/λ |
| Échelles logarithmiques | Décibels, magnitude d’un séisme, pH |
Le lien avec les suites
Une suite géométrique de raison positive devient arithmétique par le logarithme : ln(u(n)) = ln(u₀) + n ln(q).
C’est ce qui rend les seuils calculables sans tâtonnement.
Le logarithme est la seule fonction du programme qui change la nature d’une opération : produits en sommes, puissances en produits.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est l’ensemble de définition de la fonction ln ?
2.Que vaut ln(ab) pour a et b strictement positifs ?
3.ln(a + b) est-il égal à ln a + ln b ?
4.Que vaut ln(e) ?
5.Comment résoudre 2^n > 1000 ?
6.La courbe de ln admet une asymptote verticale en 0.
0 / 6 questions
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