Maths · Terminale · Analyse
Limites de suites
Où va la suite quand n devient immense ?
En bref
Étudier la limite d’une suite, c’est décrire son comportement quand n devient très grand.
Étudier la limite d’une suite, c’est décrire son comportement quand n devient très grand. Trois issues sont possibles.
Les trois comportements
| Comportement | Sa définition | Exemple |
|---|---|---|
| Converger vers ℓ | Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d’un certain rang | 1/n vers 0 |
| Diverger vers +∞ | Tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes à partir d’un certain rang | n² |
| N’avoir aucune limite | La suite oscille sans se fixer | (−1)ⁿ |
Diverger ne signifie pas « tendre vers l’infini » : une suite sans limite diverge aussi.
Les limites de référence
Pour tout entier k supérieur ou égal à 1 : n^k tend vers +∞, √n tend vers +∞, et 1/n^k tend vers 0.
Les opérations et les indéterminations
Somme, produit et quotient se calculent terme à terme — sauf pour les quatre formes indéterminées : ∞ − ∞ · 0 × ∞ · ∞/∞ · 0/0.
Une forme indéterminée n’est pas une absence de limite : c’est un signal qu’il faut transformer l’écriture — factoriser par le terme dominant, utiliser l’expression conjuguée, simplifier.
Les suites géométriques
| La raison q | Le comportement de qⁿ |
|---|---|
| q > 1 | +∞ |
| q = 1 | Suite constante |
| −1 < q < 1 | 0 |
| q inférieur ou égal à −1 | Pas de limite |
C’est le résultat le plus utilisé du chapitre. Pour q > 1, il se démontre par l’inégalité de Bernoulli.
Les théorèmes de comparaison
| Théorème | Ses hypothèses | Sa conclusion |
|---|---|---|
| Par minoration | u(n) supérieure à v(n), et v tend vers +∞ | u tend vers +∞ |
| Par majoration | u(n) inférieure à v(n), et v tend vers −∞ | u tend vers −∞ |
| Des gendarmes | v(n) inférieure à u(n) inférieure à w(n), et v et w convergent vers la même limite ℓ | u converge vers ℓ |
Le théorème des gendarmes est l’outil de choix dès qu’apparaît un terme borné mais sans limite, comme cos(n) ou (−1)ⁿ.
Le théorème de la limite monotone
| La suite est… | Elle… |
|---|---|
| Croissante et majorée | Converge |
| Décroissante et minorée | Converge |
| Croissante et non majorée | Diverge vers +∞ |
Il garantit l’existence de la limite, pas sa valeur : une suite croissante majorée par 10 converge, mais pas nécessairement vers 10.
Suites définies par récurrence
Pour u(n+1) = f(u(n)) avec f continue : si la suite converge vers ℓ, alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ.
L’ordre du raisonnement est imposé : d’abord prouver que la limite existe — monotonie et bornes, par récurrence —, ensuite seulement la calculer.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Une suite qui diverge tend-elle nécessairement vers l’infini ?
2.Quelle est la limite de qⁿ pour −1 < q < 1 ?
3.Quelles sont les formes indéterminées ?
4.Que dit le théorème des gendarmes ?
5.Une suite croissante et majorée par 10 converge vers 10.
6.Une suite croissante non majorée…
0 / 6 questions
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