Maths · Terminale · Analyse
Limites de fonctions
Aux bords : à l’infini ou près d’une valeur interdite.
En bref
La limite d’une fonction décrit ce qui se passe au bord : quand x tend vers l’infini, ou quand x s’approche d’une valeur interdite.
Les deux familles
| Famille | Ce qu’elle décrit |
|---|---|
| Limite en l’infini | f(x) tend vers ℓ, vers ±∞, ou n’a pas de limite |
| Limite en un réel a | On distingue la limite à gauche (x < a) et à droite (x > a) |
Les deux peuvent différer : 1/x tend vers −∞ à gauche de 0 et vers +∞ à droite.
Les limites de référence
| En +∞ | La limite | En 0 à droite | La limite |
|---|---|---|---|
| x^n | +∞ | 1/x | +∞ |
| √x | +∞ | 1/√x | +∞ |
| 1/x^n | 0 | — | — |
Lever une indétermination
Mêmes quatre formes que pour les suites : ∞ − ∞ · 0 × ∞ · ∞/∞ · 0/0.
| Technique | Quand l’employer |
|---|---|
| Factoriser par le terme de plus haut degré | Polynômes et quotients de polynômes en l’infini |
| Multiplier par l’expression conjuguée | Quand une racine carrée produit ∞ − ∞ |
| Reconnaître un taux d’accroissement | Formes 0/0 en un point |
En +∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
Les théorèmes de comparaison
Minoration, majoration, et théorème des gendarmes — celui-ci traite tous les cas où apparaît un facteur borné, comme sin(x)/x en +∞.
Les asymptotes
| Asymptote | Sa condition |
|---|---|
| Horizontale y = ℓ | f(x) tend vers ℓ quand x tend vers ±∞ |
| Verticale x = a | f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a |
| Oblique y = ax + b | f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l’infini |
Une courbe peut couper son asymptote horizontale : l’asymptote décrit un comportement à l’infini, pas une barrière.
La composition
Si u(x) tend vers b quand x tend vers a, et f(y) tend vers ℓ quand y tend vers b, alors f(u(x)) tend vers ℓ. C’est ce qui permet de traiter les composées par changement de variable.
Le lien avec la continuité
f est continue en a si sa limite en a existe et vaut f(a).
Une limite peut donc exister sans que la fonction soit continue : si elle n’est pas définie en a, ou si sa valeur diffère de la limite.
Réflexe systématique en l’infini : factoriser par le terme dominant. Il lève à lui seul la majorité des indéterminations de l’épreuve.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la limite d’un polynôme en +∞ ?
2.Que vaut la limite de 1/x quand x tend vers 0 par valeurs négatives ?
3.Quelle technique lève une indétermination du type ∞ − ∞ avec une racine carrée ?
4.Une courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?
5.Quelle est la condition d’une asymptote oblique d’équation y = ax + b ?
6.Une fonction est continue en a si sa limite en a existe.
0 / 6 questions
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