Maths · Terminale · Analyse
Dérivée de 2 fonctions composées
Dériver de l’extérieur vers l’intérieur.
En bref
Dériver une composée est le geste technique le plus fréquent de l’année : il intervient dans toute fonction écrite avec une exponentielle, un logarithme, une racine ou une puissance d’expression.
La composée
La composée de u par f associe à x le nombre f(u(x)) : on applique d’abord u, ensuite f.
L’ordre n’est pas symétrique : f ∘ u et u ∘ f sont en général différentes.
Le théorème
Si u est dérivable en x et f dérivable en u(x) :
(f ∘ u)′(x) = u′(x) × f′(u(x))
La dérivée de la fonction extérieure, prise en la fonction intérieure, multipliée par la dérivée de la fonction intérieure. Le facteur u′(x) est celui qu’on oublie.
Les cas usuels
| Fonction | Sa dérivée | Condition |
|---|---|---|
| uⁿ | n u′ uⁿ⁻¹ | — |
| √u | u′ / (2√u) | u > 0 |
| e^u | u′ e^u | — |
| ln u | u′ / u | u > 0 |
| 1/u | −u′ / u² | u non nul |
| cos u, sin u | −u′ sin u, u′ cos u | — |
Tous se déduisent du théorème : ce sont des cas particuliers, pas des formules indépendantes à mémoriser séparément.
Deux exemples détaillés
| La fonction | u et u′ | La dérivée |
|---|---|---|
| e^(3x² + 1) | u = 3x² + 1, u′ = 6x | 6x e^(3x² + 1) |
| (2x − 5)⁴ | u = 2x − 5, u′ = 2 | 2 × 4 × (2x − 5)³ = 8(2x − 5)³ |
Les trois erreurs à éviter
| Erreur | Ce qui est juste |
|---|---|
| Écrire (e^(3x))′ = e^(3x) | 3 e^(3x) : on oublie u′ |
| Multiplier les dérivées sans composer | La dérivée extérieure s’évalue en u(x), pas en x |
| Confondre f ∘ u et f × u | Ce sont deux objets différents |
Le domaine de dérivabilité
Il faut que u soit dérivable et que f le soit en u(x).
Pour √u, cela impose u strictement positif : la racine n’est pas dérivable en 0, même si elle y est définie. Pour ln u, il faut u > 0.
À quoi cela sert immédiatement
Toute étude de fonction y passe : signe de la dérivée, variations, tangentes, extremums — et, lu à l’envers, la recherche de primitives.
Voir u′ e^u dans une expression, c’est savoir qu’une primitive est e^u. Le chapitre des primitives n’est que celui-ci retourné.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de f ∘ u ?
2.Quelle est la dérivée de e^u ?
3.Quelle est la dérivée de ln(u) pour u > 0 ?
4.Quelle est la dérivée de √u ?
5.Que vaut la dérivée de (2x − 5)⁴ ?
6.f ∘ u et u ∘ f désignent la même fonction.
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Dériver une composée » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
