Maths · Terminale · Analyse
Fonctions convexes
La courbure se lit sur la dérivée seconde.
En bref
La dérivée renseigne sur le sens de variation ; la dérivée seconde renseigne sur la façon dont ce sens évolue — c’est la convexité.
Les définitions
| Convexe | Concave | |
|---|---|---|
| Par rapport aux tangentes | La courbe est au-dessus | La courbe est au-dessous |
| Par rapport aux cordes | La courbe est au-dessous | La courbe est au-dessus |
| Image | Elle « tient l’eau » | — |
Les caractérisations
Pour f deux fois dérivable, les trois propositions sont équivalentes : f est convexe ; f′ est croissante ; f″ est positive.
Symétriquement pour la concavité : f′ décroissante, f″ négative.
Le point d’inflexion
Un point où la courbe change de convexité. En ce point, f″ s’annule en changeant de signe — et la tangente traverse la courbe, signe visuel le plus net.
L’annulation de f″ ne suffit pas : pour x⁴, f″(0) = 0 mais la fonction reste convexe partout. C’est le changement de signe qui compte — exactement comme pour l’extremum et f′.
Les fonctions de référence
| Fonction | Sa convexité |
|---|---|
| x², e^x, x^n pour n pair | Convexes sur ℝ |
| ln | Concave sur les réels strictement positifs |
| x³ | Concave sur les négatifs, convexe sur les positifs — point d’inflexion en 0 |
| Fonction affine | Convexe et concave : sa courbe est confondue avec ses tangentes |
Les usages
| Usage | Ce qu’il donne |
|---|---|
| Encadrer par les tangentes | La convexité de e^x donne e^x supérieur ou égal à x + 1 pour tout réel |
| Interpréter une courbe | En économie, la convexité du coût traduit des rendements décroissants |
| Lire un graphique | Distinguer « ça augmente » (f′ > 0) de « ça augmente de plus en plus vite » (f′ > 0 et f″ > 0) |
En physique, un point d’inflexion marque le moment où une croissance cesse d’accélérer.
Variation et convexité sont indépendantes : une fonction peut être décroissante et convexe, croissante et concave, et toutes les combinaisons. Les confondre est l’erreur la plus fréquente à l’oral.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Une fonction convexe a sa courbe…
2.Quelle condition sur f″ caractérise la convexité ?
3.Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?
4.L’annulation de f″ en un point suffit-elle à en faire un point d’inflexion ?
5.La fonction ln est convexe sur ]0 ; +∞[.
6.Quelle inégalité la convexité de l’exponentielle permet-elle d’établir ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Fonctions convexes » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
