Ens. scientifique · Première · Mathématiques
Variation globale et fonction dérivée
Le signe de f’ dit les variations.
En bref
Le nombre dérivé décrit un point. En le calculant en tout point, on obtient une fonction — et cette fonction raconte à elle seule les variations de la première sur tout un intervalle.
Les formules à connaître
| f(x) | f’(x) |
|---|---|
| k, constante | 0 |
| x | 1 |
| a x + b | a |
| x² | 2 x |
| x³ | 3 x² |
| 1/x | −1/x² |
Et les deux règles d’usage : (u + v)’ = u’ + v’ et (k u)’ = k u’.
Exemple : f(x) = 3x² − 5x + 2 donne f’(x) = 6x − 5.
Le théorème central
| Sur un intervalle, si… | Alors f est… |
|---|---|
| f’(x) > 0 | Croissante |
| f’(x) < 0 | Décroissante |
| f’(x) = 0 partout | Constante |
Étudier les variations d’une fonction se ramène donc à étudier le signe de sa dérivée — un problème de signe, souvent celui d’une expression affine ou d’un produit.
La méthode du tableau de variation
- Calculer f’(x) ;
- Résoudre f’(x) = 0 et étudier le signe de f’ ;
- Dresser le tableau : x, signe de f’, flèches de variation de f ;
- Calculer les valeurs de f aux bornes et là où f’ s’annule.
Extremums
| Le signe de f’ passe… | L’extremum est un… |
|---|---|
| De + à − | Maximum |
| De − à + | Minimum |
L’annulation seule ne suffit pas : f(x) = x³ a une dérivée nulle en 0 sans y présenter d’extremum — la fonction continue de croître.
Un exemple complet
| Étape | Le résultat |
|---|---|
| La fonction | f(x) = −2x² + 8x + 3 |
| Sa dérivée | f’(x) = −4x + 8 |
| Elle s’annule | En x = 2, en passant du positif au négatif |
| Conclusion | Maximum en x = 2, avec f(2) = 11 |
C’est ainsi que se résolvent les problèmes d’optimisation : la boîte de volume maximal, le bénéfice le plus élevé, la plus grande surface à clôture donnée.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de f(x) = x² ?
2.Quelle est la dérivée de f(x) = 3x² − 5x + 2 ?
3.Que peut-on conclure si f’(x) > 0 sur un intervalle ?
4.Quelle est la dérivée d’une fonction constante ?
5.À quelle condition un point où f’ s’annule est-il un extremum ?
6.Pour f(x) = −2x² + 8x + 3, en quelle valeur de x la fonction atteint-elle son maximum ?
0 / 6 questions
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