Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Fonctions convexes
De plus en plus vite, ou moins vite ?
En bref
Savoir qu’une grandeur augmente ne suffit pas : le décideur veut savoir si elle augmente de plus en plus vite ou si la hausse ralentit.
Savoir qu’une grandeur augmente ne suffit pas : le décideur veut savoir si elle augmente de plus en plus vite ou si la hausse ralentit. C’est ce que dit la convexité.
Les définitions
| Convexe | Concave | |
|---|---|---|
| Par rapport aux tangentes | La courbe est au-dessus | La courbe est au-dessous |
| Par rapport aux cordes | La courbe est au-dessous | La courbe est au-dessus |
| Image | Elle « tient l’eau » | Elle la laisse fuir |
Les caractérisations
Pour f deux fois dérivable, les trois propositions sont équivalentes : f est convexe ; f′ est croissante ; f″ est positive ou nulle.
Symétriquement pour la concavité : f′ décroissante et f″ négative ou nulle.
Le point d’inflexion
Un point où la courbe change de convexité. En ce point, f″ s’annule en changeant de signe, et la tangente traverse la courbe.
L’annulation de f″ ne suffit pas : pour x⁴, f″(0) = 0 sans changement de convexité.
Ce que la convexité veut dire concrètement
| Signes | Ce que fait la grandeur |
|---|---|
| f′ > 0 | Elle augmente |
| f′ > 0 et f″ > 0 | Elle augmente de plus en plus vite — croissance qui s’emballe |
| f′ > 0 et f″ < 0 | Elle augmente de moins en moins vite — vers un plafond |
Sur une courbe de croissance, le point d’inflexion marque le moment où l’emballement s’arrête : c’est le pic de la vitesse de croissance. Sur une courbe épidémique, c’est le jour où les nouveaux cas quotidiens sont les plus nombreux — bien avant que le total cesse d’augmenter. Le confondre avec le maximum de la courbe est l’erreur d’interprétation la plus fréquente.
Les fonctions de référence
| Fonction | Sa convexité |
|---|---|
| x², e^x, x^n pour n pair | Convexes |
| ln, sur les réels strictement positifs | Concave |
| Fonction affine | Convexe et concave |
Le modèle logistique
Une croissance limitée — population dans un milieu fini, diffusion d’un produit — suit une courbe en S.
| Phase | Sa forme | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| Première | Convexe | Démarrage lent, puis accélération |
| Le point d’inflexion | Entre les deux, à mi-chemin du plafond | Vitesse maximale |
| Seconde | Concave | Ralentissement vers le plafond |
Variation et convexité sont indépendantes. Une grandeur peut baisser en accélérant (décroissante et concave) ou baisser en ralentissant (décroissante et convexe).
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle condition sur f″ caractérise une fonction convexe ?
2.Que signifie f′ > 0 et f″ < 0 pour une grandeur ?
3.Que marque un point d’inflexion sur une courbe de croissance ?
4.Une fonction convexe a sa courbe…
5.La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[.
6.Une courbe logistique en S est…
0 / 6 questions
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