Maths complémentaires · Terminale · Analyse
Primitives et équations différentielles
De la vitesse à la quantité.
En bref
En modélisation, on connaît souvent la vitesse d’évolution d’une grandeur avant de connaître la grandeur elle-même.
En modélisation, on connaît souvent la vitesse d’évolution d’une grandeur avant de connaître la grandeur elle-même. Passer de l’une à l’autre, c’est chercher une primitive.
La définition
F est une primitive de f sur un intervalle I si F′ = f sur I. Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et elles diffèrent toutes d’une constante.
Conséquence : une condition initiale — la valeur de la grandeur à l’instant zéro — détermine une primitive et une seule. Sans elle, le modèle reste indéterminé.
Les primitives usuelles
| f(x) | Une primitive F(x) |
|---|---|
| x^n, pour n différent de −1 | x^(n+1)/(n+1) |
| 1/x | ln de la valeur absolue de x |
| e^x | e^x |
| 1/√x | 2√x |
Les formes composées
| Expression | Sa primitive |
|---|---|
| u′ e^u | e^u |
| u′/u | ln de la valeur absolue de u |
| u′ uⁿ | uⁿ⁺¹/(n+1) |
Reconnaître u′ dans l’expression est toute la méthode. Quand le facteur constant ne tombe pas juste, on le corrige en multipliant par son inverse.
L’équation y′ = a y
Ses solutions sont les fonctions x ↦ C e^(a x), C réel. C’est l’équation de toute évolution dont la vitesse est proportionnelle à la quantité présente.
| Le signe de a | Le phénomène |
|---|---|
| a > 0 | Croissance exponentielle : population sans contrainte, capital à intérêts composés |
| a < 0 | Décroissance exponentielle : désintégration radioactive, refroidissement, élimination d’un médicament |
L’équation y′ = a y + b
Ses solutions sont x ↦ C e^(a x) − b/a, pour a non nul.
- Chercher la solution particulière constante, celle qui vérifie 0 = a y + b, soit y = −b/a ;
- Ajouter les solutions de l’équation sans second membre, soit C e^(a x) ;
- Déterminer C par la condition initiale.
Quand a < 0, le terme exponentiel s’efface et la grandeur converge vers −b/a, son niveau d’équilibre — indépendamment de l’état de départ. C’est le refroidissement vers la température ambiante, ou le réservoir qui se remplit à débit constant en fuyant proportionnellement à son contenu.
Le lien avec le discret
| Version | Le modèle |
|---|---|
| Discrète | La suite arithmético-géométrique u(n+1) = a u(n) + b |
| Continue | L’équation différentielle y′ = a y + b |
Les deux décrivent la même situation — un taux plus un apport fixe — et convergent toutes deux vers un état d’équilibre.
Une équation différentielle donne une famille de courbes ; la condition initiale en désigne une. Un modèle complet comporte toujours ces deux données.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une primitive F de f ?
2.Quelles sont les solutions de y′ = a y ?
3.Que modélise l’équation y′ = a y avec a < 0 ?
4.Vers quoi converge la solution de y′ = a y + b quand a < 0 ?
5.Comment détermine-t-on la constante C ?
6.Quelle est une primitive de u′/u ?
0 / 6 questions
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