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La fonction inverse
Grand ici, petit là, jamais nul.
En bref
Pour parcourir 120 km, plus on roule vite, moins on met de temps : la durée est inversement proportionnelle à la vitesse.
Pour parcourir 120 km, plus on roule vite, moins on met de temps : la durée est inversement proportionnelle à la vitesse. La fonction qui décrit ce lien est la fonction inverse, f(x) = 1/x.
Définition
f(x) = 1/x est définie pour tout x non nul : on ne divise jamais par 0. Son ensemble de définition est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
Comportement aux bornes
| Quand x… | 1/x… |
|---|---|
| devient très grand (positif) | se rapproche de 0 par valeurs positives |
| se rapproche de 0 par la droite | devient très grand |
| se rapproche de 0 par la gauche | devient très grand en valeur absolue, négatif |
| devient très grand négatif | se rapproche de 0 par valeurs négatives |
L’inverse d’un très petit nombre est très grand : 1 ÷ 0,001 = 1 000. L’inverse d’un très grand nombre est très petit : 1 ÷ 10⁶ = 10^(−6).
La courbe : une hyperbole
Elle a deux branches, symétriques par rapport à l’origine (1/(−x) = −1/x). Les axes du repère sont ses asymptotes : la courbe s’en rapproche autant qu’on veut sans jamais les toucher.
La dérivée
(1/x)′ = −1/x²
On l’obtient par le taux de variation : (1/(a+h) − 1/a) ÷ h = −1 ÷ (a(a + h)), qui se rapproche de −1/a² quand h tend vers 0.
Comme −1/x² < 0, la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[.
Elle n’est pas décroissante sur tout son ensemble de définition : −1 < 1 mais 1/(−1) = −1 < 1/1 = 1. La décroissance vaut sur chaque intervalle séparément.
Le coût moyen
Si produire q objets coûte C(q), le coût moyen par objet est C(q) ÷ q. Avec des frais fixes de 500 € et 2 € par objet : C(q) = 500 + 2q et le coût moyen vaut 2 + 500/q. Plus on produit, plus les frais fixes se répartissent : le coût moyen diminue et se rapproche de 2 €.
1/x : grand quand x est petit, petit quand x est grand, jamais nul.
Exemple travaillé
Tangente à la courbe de f(x) = 1/x au point d’abscisse 2.
- f(2) = 0,5.
- f′(2) = −1/4 = −0,25.
- y = −0,25(x − 2) + 0,5, soit y = −0,25x + 1.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Pour quelle valeur de x la fonction inverse n’est-elle pas définie ?
2.Quelle est la dérivée de f(x) = 1/x ?
3.Quand x devient très grand, 1/x…
4.Combien vaut l’inverse de 0,001 ?
5.La fonction inverse est décroissante sur tout son ensemble de définition.
6.Quelles sont les asymptotes de la courbe de 1/x ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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