Maths · Terminale · Analyse
Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité
La puissance l’emporte sur le logarithme.
En bref
La fiche précédente donnait les propriétés algébriques du logarithme.
La fiche précédente donnait les propriétés algébriques du logarithme. Celle-ci l’étudie comme une fonction : dérivée, limites, croissances comparées.
Continuité et dérivabilité
| Élément | Sa valeur | Ce qu’il entraîne |
|---|---|---|
| ln′(x) | 1/x | Strictement positive : ln est strictement croissante |
| ln″(x) | −1/x² | Strictement négative : ln est concave |
La monotonie du logarithme se démontre ainsi en une ligne.
Les limites aux bornes
| En… | La limite | Ce qu’elle donne |
|---|---|---|
| 0 par valeurs positives | −∞ | Une asymptote verticale d’équation x = 0 |
| +∞ | +∞ | Mais lentement — au sens précis donné ci-dessous |
Les croissances comparées
| Limite | Sa valeur |
|---|---|
| ln(x)/x, et plus généralement ln(x)/x^n, en +∞ | 0 |
| x ln(x), en 0 par valeurs positives | 0 |
| ln(1 + x)/x, en 0 | 1 — c’est le nombre dérivé de ln en 1 |
Le principe : la puissance l’emporte toujours sur le logarithme. Toute indétermination ∞/∞ mêlant ln et une puissance se lève par cette règle.
Symétriquement, du côté de l’exponentielle : e^x/x^n tend vers +∞ — l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
La dérivée de ln(u)
Pour u strictement positive et dérivable : (ln u)′ = u′ / u
C’est le cas le plus fréquent en exercice. Il impose de déterminer d’abord l’ensemble où u > 0 : le domaine d’étude de ln(u) n’est pas celui de u.
La tangente en 1
ln(1) = 0 et ln′(1) = 1 : la tangente en 1 a pour équation y = x − 1. La concavité place la courbe au-dessous de cette tangente, d’où, pour tout x > 0 :
ln(x) inférieur ou égal à x − 1
C’est le pendant exact de e^x supérieur ou égal à x + 1, et elle sert dans de nombreuses majorations.
L’étude d’une fonction contenant ln
- Le domaine : où l’argument est strictement positif ;
- Les limites aux bornes ;
- La dérivée et son signe ;
- Le tableau de variations ;
- Les éventuelles asymptotes, puis le tracé.
Deux automatismes suffisent : (ln u)′ = u′/u pour dériver, et « la puissance gagne » pour lever les indéterminations.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de ln(x) ?
2.Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
3.Que vaut la limite de ln(x)/x en +∞ ?
4.Quelle est la dérivée de ln(u) pour u strictement positive ?
5.Quelle est la limite de x ln(x) quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
6.Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 1 ?
0 / 6 questions
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