Maths · Terminale · Analyse
Primitives et équations différentielles
Remonter de la dérivée à la fonction.
En bref
Chercher une primitive, c’est faire le chemin inverse de la dérivation.
Chercher une primitive, c’est faire le chemin inverse de la dérivation. Ce chapitre installe l’outil, puis l’applique à la modélisation par une équation différentielle.
La définition
F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F′ = f.
| Fait | Ce qu’il implique |
|---|---|
| Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives | L’existence est acquise |
| Elles diffèrent toutes d’une constante | L’ensemble des primitives est F + C |
| Une seule prend une valeur donnée en un point donné | C’est la condition initiale qui fixe C |
Les primitives usuelles
| f(x) | Une primitive F(x) |
|---|---|
| x^n, n différent de −1 | x^(n+1)/(n+1) |
| 1/x | ln de la valeur absolue de x |
| e^x | e^x |
| cos x | sin x |
| sin x | −cos x |
| 1/√x | 2√x |
Les formes composées
Elles se lisent en retournant la dérivation des composées.
| Expression | Sa primitive |
|---|---|
| u′ uⁿ | uⁿ⁺¹/(n+1) |
| u′/u | ln de la valeur absolue de u |
| u′ e^u | e^u |
| u′/√u | 2√u |
| u′ cos u | sin u |
Reconnaître u′ est toute la méthode. Pour 2x e^(x²+1), on voit u = x² + 1 et u′ = 2x : le compte est bon. Pour x e^(x²+1), il faut un facteur 1/2.
Les deux équations différentielles du programme
| Équation | Ses solutions | Ce qu’elle modélise |
|---|---|---|
| y′ = a y | x ↦ C e^(a x) | Toute évolution dont la vitesse est proportionnelle à la quantité présente |
| y′ = a y + b | x ↦ C e^(a x) − b/a | La même, avec un apport ou un prélèvement constant |
Croissance de population, décroissance radioactive (a < 0), charge d’un condensateur.
La méthode pour la seconde : trouver une solution particulière constante — celle qui vérifie 0 = a y + b, soit y = −b/a — puis y ajouter les solutions de l’équation sans second membre.
La condition initiale
L’équation donne une famille de solutions ; la condition initiale en sélectionne une seule.
Un problème de modélisation comporte donc toujours deux données : l’équation et l’état de départ.
Le vocabulaire compte : une primitive est une fonction, une constante d’intégration est un réel, et « la » primitive n’existe pas sans condition initiale.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une primitive F de f sur un intervalle ?
2.De combien les primitives d’une même fonction diffèrent-elles ?
3.Quelle est une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ ?
4.Quelle est une primitive de la forme u′/u ?
5.Quelles sont les solutions de l’équation différentielle y′ = a y ?
6.Comment résout-on y′ = a y + b ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Primitives, éq. diff » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
