Maths · Terminale · Analyse
Fonctions cosinus et sinus
Périodiques, bornées, dérivées qui se suivent.
En bref
Cosinus et sinus sont les seules fonctions du programme à être périodiques.
Cosinus et sinus sont les seules fonctions du programme à être périodiques. Cette propriété change toute la méthode d’étude : on travaille sur une période, puis on complète.
Définition et périodicité
Sur le cercle trigonométrique, le point associé au réel x a pour coordonnées (cos x ; sin x). Les deux fonctions sont définies sur ℝ tout entier, à valeurs dans [−1 ; 1], et périodiques de période 2π.
Parité
| Fonction | Sa parité | Sa symétrie |
|---|---|---|
| cos | Paire : cos(−x) = cos x | Par rapport à l’axe des ordonnées |
| sin | Impaire : sin(−x) = −sin x | Par rapport à l’origine |
Conséquence pratique : il suffit d’étudier sur [0 ; π], puis d’utiliser parité et périodicité. C’est ce qu’attend l’énoncé quand il demande de « réduire l’intervalle d’étude ».
Les formules à connaître
| Formule | Ce qu’elle donne |
|---|---|
| cos²x + sin²x = 1 | La relation fondamentale |
| cos(x + π) = −cos x, sin(x + π) = −sin x | Le demi-tour |
| cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x | L’échange des deux fonctions |
Plus les valeurs remarquables en 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
Dérivées
cos′(x) = −sin(x) et sin′(x) = cos(x)
Le signe moins sur la dérivée du cosinus est l’oubli classique.
Pour les composées : (cos u)′ = −u′ sin u et (sin u)′ = u′ cos u. En particulier, la dérivée de sin(ωx) vaut ω cos(ωx).
Les limites de référence en 0
| Limite | Sa valeur | Ce qu’elle est |
|---|---|---|
| sin(x)/x | 1 | Le nombre dérivé de sin en 0 |
| (cos(x) − 1)/x | 0 | Le nombre dérivé de cos en 0 |
Ni cos ni sin n’ont de limite en +∞ : elles oscillent indéfiniment. Une expression comme sin(x)/x en +∞ se traite donc par le théorème des gendarmes, en encadrant sin(x) entre −1 et 1.
Variations sur une période
Sur [0 ; π] : cos décroît de 1 à −1 ; sin croît de 0 à 1 sur [0 ; π/2], puis décroît de 1 à 0.
Résoudre une équation trigonométrique
| L’équation | Ses solutions |
|---|---|
| cos(x) = cos(a) | x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ |
| sin(x) = sin(a) | x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ |
Oublier la seconde famille est l’erreur la plus fréquente : une équation trigonométrique a presque toujours deux familles de solutions par période.
Dans les modélisations, sin(ωt + φ) décrit toute oscillation : ω donne la pulsation, φ le déphasage, et l’amplitude multiplie l’ensemble. Le lien avec la physique est direct.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de cos(x) ?
2.Quelle est la période des fonctions cosinus et sinus ?
3.La fonction sinus est…
4.Que vaut la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 ?
5.Les fonctions cosinus et sinus ont-elles une limite en +∞ ?
6.Quelle est la dérivée de sin(ωx) ?
0 / 6 questions
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